Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99639 / 100711
↖ ↑ ↗
← S 69.012562°
E 93.666687°		 ← 109.37 m → S 69.012562°
E 93.669433°		 →
↑
109.39 m
↓
↑
109.39 m
↓
S 69.013546°
E 93.666687°		 ← 109.36 m →
11 964 m²		 S 69.013546°
E 93.669433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760189056396484 y=0.768367767333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760189056396484 × 217)
    floor (0.760189056396484 × 131072)
    floor (99639.5)     		tx = 99639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768367767333984 × 217)
    floor (0.768367767333984 × 131072)
    floor (100711.5)     		ty = 100711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99639 / 100711 ti = "17/99639/100711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99639/100711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99639 ÷ 217
    99639 ÷ 131072     		x = 0.760185241699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100711 ÷ 217
    100711 ÷ 131072     		y = 0.768363952636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760185241699219 × 2 - 1) × π
    0.520370483398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.63479209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768363952636719 × 2 - 1) × π
    -0.536727905273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.68618044413548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63479209} λ = 1.63479209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68618044413548))-π/2
    2×atan(0.185225654316607)-π/2
    2×0.183149944295677-π/2
    0.366299888591354-1.57079632675     		φ = -1.20449644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63479209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.666687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20449644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.012562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99639 KachelY 100711 1.63479209 -1.20449644 93.666687 -69.012562
    Oben rechts KachelX + 1 99640 KachelY 100711 1.63484002 -1.20449644 93.669433 -69.012562
    Unten links KachelX 99639 KachelY + 1 100712 1.63479209 -1.20451361 93.666687 -69.013546
    Unten rechts KachelX + 1 99640 KachelY + 1 100712 1.63484002 -1.20451361 93.669433 -69.013546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20449644--1.20451361) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dl = 109.390070000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20449644--1.20451361) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dr = 109.390070000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63479209-1.63484002) × cos(-1.20449644) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.35816324770731 × 6371000     		do = 109.369456391364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63479209-1.63484002) × cos(-1.20451361) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.358147216729857 × 6371000     		du = 109.364561139546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20449644)-sin(-1.20451361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35816324770731-0.358147216729857)×R²
    abs(1.63484002-1.63479209)×1.60309774536183e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60309774536183e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60309774536183e-05×40589641000000     		ar = 11963.6647449376m²