Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99633 / 100665
↖ ↑ ↗
← S 68.967264°
E 93.650208°		 ← 109.59 m → S 68.967264°
E 93.652954°		 →
↑
109.58 m
↓
↑
109.58 m
↓
S 68.968250°
E 93.650208°		 ← 109.59 m →
12 009 m²		 S 68.968250°
E 93.652954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760143280029297 y=0.768016815185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760143280029297 × 217)
    floor (0.760143280029297 × 131072)
    floor (99633.5)     		tx = 99633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768016815185547 × 217)
    floor (0.768016815185547 × 131072)
    floor (100665.5)     		ty = 100665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99633 / 100665 ti = "17/99633/100665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99633/100665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99633 ÷ 217
    99633 ÷ 131072     		x = 0.760139465332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100665 ÷ 217
    100665 ÷ 131072     		y = 0.768013000488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760139465332031 × 2 - 1) × π
    0.520278930664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.63450447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768013000488281 × 2 - 1) × π
    -0.536026000976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.68397534675295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63450447} λ = 1.63450447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68397534675295))-π/2
    2×atan(0.185634545578958)-π/2
    2×0.18354524345953-π/2
    0.36709048691906-1.57079632675     		φ = -1.20370584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63450447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.650208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20370584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.967264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99633 KachelY 100665 1.63450447 -1.20370584 93.650208 -68.967264
    Oben rechts KachelX + 1 99634 KachelY 100665 1.63455240 -1.20370584 93.652954 -68.967264
    Unten links KachelX 99633 KachelY + 1 100666 1.63450447 -1.20372304 93.650208 -68.968250
    Unten rechts KachelX + 1 99634 KachelY + 1 100666 1.63455240 -1.20372304 93.652954 -68.968250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20370584--1.20372304) × R
    1.72000000000505e-05 × 6371000     		dl = 109.581200000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20370584--1.20372304) × R
    1.72000000000505e-05 × 6371000     		dr = 109.581200000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63450447-1.63455240) × cos(-1.20370584) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.358901286484086 × 6371000     		do = 109.594825410459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63450447-1.63455240) × cos(-1.20372304) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.358885232372006 × 6371000     		du = 109.589923094205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20370584)-sin(-1.20372304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358901286484086-0.358885232372006)×R²
    abs(1.63455240-1.63450447)×1.6054112080055e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6054112080055e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6054112080055e-05×40589641000000     		ar = 12009.2638817972m²