Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99633 / 100663
↖ ↑ ↗
← S 68.965293°
E 93.650208°		 ← 109.60 m → S 68.965293°
E 93.652954°		 →
↑
109.58 m
↓
↑
109.58 m
↓
S 68.966278°
E 93.650208°		 ← 109.60 m →
12 010 m²		 S 68.966278°
E 93.652954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760143280029297 y=0.768001556396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760143280029297 × 217)
    floor (0.760143280029297 × 131072)
    floor (99633.5)     		tx = 99633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768001556396484 × 217)
    floor (0.768001556396484 × 131072)
    floor (100663.5)     		ty = 100663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99633 / 100663 ti = "17/99633/100663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99633/100663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99633 ÷ 217
    99633 ÷ 131072     		x = 0.760139465332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100663 ÷ 217
    100663 ÷ 131072     		y = 0.767997741699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760139465332031 × 2 - 1) × π
    0.520278930664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.63450447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767997741699219 × 2 - 1) × π
    -0.535995483398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.68387947295371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63450447} λ = 1.63450447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68387947295371))-π/2
    2×atan(0.185652343921297)-π/2
    2×0.183562448844287-π/2
    0.367124897688574-1.57079632675     		φ = -1.20367143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63450447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.650208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20367143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.965293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99633 KachelY 100663 1.63450447 -1.20367143 93.650208 -68.965293
    Oben rechts KachelX + 1 99634 KachelY 100663 1.63455240 -1.20367143 93.652954 -68.965293
    Unten links KachelX 99633 KachelY + 1 100664 1.63450447 -1.20368863 93.650208 -68.966278
    Unten rechts KachelX + 1 99634 KachelY + 1 100664 1.63455240 -1.20368863 93.652954 -68.966278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20367143--1.20368863) × R
    1.72000000000505e-05 × 6371000     		dl = 109.581200000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20367143--1.20368863) × R
    1.72000000000505e-05 × 6371000     		dr = 109.581200000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63450447-1.63455240) × cos(-1.20367143) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.358933403723341 × 6371000     		do = 109.604632795836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63450447-1.63455240) × cos(-1.20368863) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.358917349823682 × 6371000     		du = 109.599730544447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20367143)-sin(-1.20368863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358933403723341-0.358917349823682)×R²
    abs(1.63455240-1.63450447)×1.60538996588633e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60538996588633e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60538996588633e-05×40589641000000     		ar = 12010.3385903927m²