Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99632 / 100700
↖ ↑ ↗
← S 69.001739°
E 93.647461°		 ← 109.45 m → S 69.001739°
E 93.650208°		 →
↑
109.45 m
↓
↑
109.45 m
↓
S 69.002723°
E 93.647461°		 ← 109.44 m →
11 979 m²		 S 69.002723°
E 93.650208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760135650634766 y=0.768283843994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760135650634766 × 217)
    floor (0.760135650634766 × 131072)
    floor (99632.5)     		tx = 99632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768283843994141 × 217)
    floor (0.768283843994141 × 131072)
    floor (100700.5)     		ty = 100700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99632 / 100700 ti = "17/99632/100700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99632/100700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99632 ÷ 217
    99632 ÷ 131072     		x = 0.7601318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100700 ÷ 217
    100700 ÷ 131072     		y = 0.768280029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7601318359375 × 2 - 1) × π
    0.520263671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63445653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768280029296875 × 2 - 1) × π
    -0.53656005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68565313823965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63445653} λ = 1.63445653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68565313823965))-π/2
    2×atan(0.185323350651849)-π/2
    2×0.183244398340732-π/2
    0.366488796681465-1.57079632675     		φ = -1.20430753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63445653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.647461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20430753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.001739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99632 KachelY 100700 1.63445653 -1.20430753 93.647461 -69.001739
    Oben rechts KachelX + 1 99633 KachelY 100700 1.63450447 -1.20430753 93.650208 -69.001739
    Unten links KachelX 99632 KachelY + 1 100701 1.63445653 -1.20432471 93.647461 -69.002723
    Unten rechts KachelX + 1 99633 KachelY + 1 100701 1.63450447 -1.20432471 93.650208 -69.002723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20430753--1.20432471) × R
    1.71800000001721e-05 × 6371000     		dl = 109.453780001096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20430753--1.20432471) × R
    1.71800000001721e-05 × 6371000     		dr = 109.453780001096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63445653-1.63450447) × cos(-1.20430753) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358339618832992 × 6371000     		do = 109.446143253313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63445653-1.63450447) × cos(-1.20432471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358323579681556 × 6371000     		du = 109.441244483616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20430753)-sin(-1.20432471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358339618832992-0.358323579681556)×R²
    abs(1.63450447-1.63445653)×1.60391514354985e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60391514354985e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60391514354985e-05×40589641000000     		ar = 11979.0259913374m²