Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99630 / 100666
↖ ↑ ↗
← S 68.968250°
E 93.641968°		 ← 109.59 m → S 68.968250°
E 93.644714°		 →
↑
109.64 m
↓
↑
109.64 m
↓
S 68.969236°
E 93.641968°		 ← 109.59 m →
12 016 m²		 S 68.969236°
E 93.644714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760120391845703 y=0.768024444580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760120391845703 × 217)
    floor (0.760120391845703 × 131072)
    floor (99630.5)     		tx = 99630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768024444580078 × 217)
    floor (0.768024444580078 × 131072)
    floor (100666.5)     		ty = 100666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99630 / 100666 ti = "17/99630/100666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99630/100666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99630 ÷ 217
    99630 ÷ 131072     		x = 0.760116577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100666 ÷ 217
    100666 ÷ 131072     		y = 0.768020629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760116577148438 × 2 - 1) × π
    0.520233154296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63436066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768020629882812 × 2 - 1) × π
    -0.536041259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68402328365257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63436066} λ = 1.63436066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68402328365257))-π/2
    2×atan(0.185625647047667)-π/2
    2×0.1835366413445-π/2
    0.367073282689-1.57079632675     		φ = -1.20372304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63436066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.641968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20372304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.968250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99630 KachelY 100666 1.63436066 -1.20372304 93.641968 -68.968250
    Oben rechts KachelX + 1 99631 KachelY 100666 1.63440859 -1.20372304 93.644714 -68.968250
    Unten links KachelX 99630 KachelY + 1 100667 1.63436066 -1.20374025 93.641968 -68.969236
    Unten rechts KachelX + 1 99631 KachelY + 1 100667 1.63440859 -1.20374025 93.644714 -68.969236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20372304--1.20374025) × R
    1.72099999999897e-05 × 6371000     		dl = 109.644909999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20372304--1.20374025) × R
    1.72099999999897e-05 × 6371000     		dr = 109.644909999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63436066-1.63440859) × cos(-1.20372304) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.358885232372006 × 6371000     		do = 109.589923094205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63436066-1.63440859) × cos(-1.20374025) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.358869168819875 × 6371000     		du = 109.585017895317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20372304)-sin(-1.20374025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358885232372006-0.358869168819875)×R²
    abs(1.63440859-1.63436066)×1.60635521313512e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60635521313512e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60635521313512e-05×40589641000000     		ar = 12015.7083397288m²