Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99624 / 100839
↖ ↑ ↗
← S 69.138119°
E 93.625488°		 ← 108.77 m → S 69.138119°
E 93.628235°		 →
↑
108.75 m
↓
↑
108.75 m
↓
S 69.139097°
E 93.625488°		 ← 108.76 m →
11 828 m²		 S 69.139097°
E 93.628235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760074615478516 y=0.769344329833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760074615478516 × 217)
    floor (0.760074615478516 × 131072)
    floor (99624.5)     		tx = 99624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769344329833984 × 217)
    floor (0.769344329833984 × 131072)
    floor (100839.5)     		ty = 100839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99624 / 100839 ti = "17/99624/100839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99624/100839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99624 ÷ 217
    99624 ÷ 131072     		x = 0.76007080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100839 ÷ 217
    100839 ÷ 131072     		y = 0.769340515136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76007080078125 × 2 - 1) × π
    0.5201416015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.63407303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769340515136719 × 2 - 1) × π
    -0.538681030273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.69231636728684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63407303} λ = 1.63407303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69231636728684))-π/2
    2×atan(0.184092603646879)-π/2
    2×0.182054255609551-π/2
    0.364108511219102-1.57079632675     		φ = -1.20668782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63407303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.625488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20668782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.138119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99624 KachelY 100839 1.63407303 -1.20668782 93.625488 -69.138119
    Oben rechts KachelX + 1 99625 KachelY 100839 1.63412097 -1.20668782 93.628235 -69.138119
    Unten links KachelX 99624 KachelY + 1 100840 1.63407303 -1.20670489 93.625488 -69.139097
    Unten rechts KachelX + 1 99625 KachelY + 1 100840 1.63412097 -1.20670489 93.628235 -69.139097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20668782--1.20670489) × R
    1.70699999999524e-05 × 6371000     		dl = 108.752969999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20668782--1.20670489) × R
    1.70699999999524e-05 × 6371000     		dr = 108.752969999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63407303-1.63412097) × cos(-1.20668782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35611638775689 × 6371000     		do = 108.767111256704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63407303-1.63412097) × cos(-1.20670489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356100436786763 × 6371000     		du = 108.762239419849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20668782)-sin(-1.20670489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35611638775689-0.356100436786763)×R²
    abs(1.63412097-1.63407303)×1.59509701276317e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59509701276317e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59509701276317e-05×40589641000000     		ar = 11828.4814744767m²