Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99614 / 100864
↖ ↑ ↗
← S 69.162558°
E 93.598023°		 ← 108.62 m → S 69.162558°
E 93.600769°		 →
↑
108.69 m
↓
↑
108.69 m
↓
S 69.163535°
E 93.598023°		 ← 108.62 m →
11 806 m²		 S 69.163535°
E 93.600769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759998321533203 y=0.769535064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759998321533203 × 217)
    floor (0.759998321533203 × 131072)
    floor (99614.5)     		tx = 99614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769535064697266 × 217)
    floor (0.769535064697266 × 131072)
    floor (100864.5)     		ty = 100864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99614 / 100864 ti = "17/99614/100864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99614/100864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99614 ÷ 217
    99614 ÷ 131072     		x = 0.759994506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100864 ÷ 217
    100864 ÷ 131072     		y = 0.76953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759994506835938 × 2 - 1) × π
    0.519989013671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63359367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76953125 × 2 - 1) × π
    -0.5390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69351478977734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63359367} λ = 1.63359367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69351478977734))-π/2
    2×atan(0.183872115075954)-π/2
    2×0.18184098610722-π/2
    0.363681972214441-1.57079632675     		φ = -1.20711435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63359367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.598023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20711435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.162558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99614 KachelY 100864 1.63359367 -1.20711435 93.598023 -69.162558
    Oben rechts KachelX + 1 99615 KachelY 100864 1.63364160 -1.20711435 93.600769 -69.162558
    Unten links KachelX 99614 KachelY + 1 100865 1.63359367 -1.20713141 93.598023 -69.163535
    Unten rechts KachelX + 1 99615 KachelY + 1 100865 1.63364160 -1.20713141 93.600769 -69.163535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20711435--1.20713141) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dl = 108.689260000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20711435--1.20713141) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dr = 108.689260000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63359367-1.63364160) × cos(-1.20711435) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.355717787996262 × 6371000     		do = 108.622705849715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63359367-1.63364160) × cos(-1.20713141) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.355701843780802 × 6371000     		du = 108.617837091715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20711435)-sin(-1.20713141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355717787996262-0.355701843780802)×R²
    abs(1.63364160-1.63359367)×1.59442154598066e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59442154598066e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59442154598066e-05×40589641000000     		ar = 11805.8569275629m²