Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99613 / 100704
↖ ↑ ↗
← S 69.005675°
E 93.595276°		 ← 109.43 m → S 69.005675°
E 93.598023°		 →
↑
109.45 m
↓
↑
109.45 m
↓
S 69.006659°
E 93.595276°		 ← 109.42 m →
11 977 m²		 S 69.006659°
E 93.598023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759990692138672 y=0.768314361572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759990692138672 × 217)
    floor (0.759990692138672 × 131072)
    floor (99613.5)     		tx = 99613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768314361572266 × 217)
    floor (0.768314361572266 × 131072)
    floor (100704.5)     		ty = 100704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99613 / 100704 ti = "17/99613/100704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99613/100704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99613 ÷ 217
    99613 ÷ 131072     		x = 0.759986877441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100704 ÷ 217
    100704 ÷ 131072     		y = 0.768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759986877441406 × 2 - 1) × π
    0.519973754882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.63354573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768310546875 × 2 - 1) × π
    -0.53662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68584488583813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63354573} λ = 1.63354573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68584488583813))-π/2
    2×atan(0.185287818751106)-π/2
    2×0.183210046034955-π/2
    0.366420092069911-1.57079632675     		φ = -1.20437623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63354573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.595276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20437623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.005675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99613 KachelY 100704 1.63354573 -1.20437623 93.595276 -69.005675
    Oben rechts KachelX + 1 99614 KachelY 100704 1.63359367 -1.20437623 93.598023 -69.005675
    Unten links KachelX 99613 KachelY + 1 100705 1.63354573 -1.20439341 93.595276 -69.006659
    Unten rechts KachelX + 1 99614 KachelY + 1 100705 1.63359367 -1.20439341 93.598023 -69.006659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20437623--1.20439341) × R
    1.717999999995e-05 × 6371000     		dl = 109.453779999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20437623--1.20439341) × R
    1.717999999995e-05 × 6371000     		dr = 109.453779999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63354573-1.63359367) × cos(-1.20437623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358275480265027 × 6371000     		do = 109.42655368373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63354573-1.63359367) × cos(-1.20439341) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358259440690703 × 6371000     		du = 109.421654784872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20437623)-sin(-1.20439341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358275480265027-0.358259440690703)×R²
    abs(1.63359367-1.63354573)×1.6039574323945e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6039574323945e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6039574323945e-05×40589641000000     		ar = 11976.881831821m²