Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9961 / 8159
↖ ↑ ↗
← N 66.657331°
W 70.565186°		 ← 484.05 m → N 66.657331°
W 70.554199°		 →
↑
484.07 m
↓
↑
484.07 m
↓
N 66.652977°
W 70.565186°		 ← 484.13 m →
234 334 m²		 N 66.652977°
W 70.554199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.304000854492188 y=0.249008178710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.304000854492188 × 215)
    floor (0.304000854492188 × 32768)
    floor (9961.5)     		tx = 9961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249008178710938 × 215)
    floor (0.249008178710938 × 32768)
    floor (8159.5)     		ty = 8159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9961 / 8159 ti = "15/9961/8159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9961/8159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9961 ÷ 215
    9961 ÷ 32768     		x = 0.303985595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8159 ÷ 215
    8159 ÷ 32768     		y = 0.248992919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.303985595703125 × 2 - 1) × π
    -0.39202880859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.23159483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248992919921875 × 2 - 1) × π
    0.50201416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.57712399749985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23159483} λ = -1.23159483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57712399749985))-π/2
    2×atan(4.8410130055687)-π/2
    2×1.36709311069669-π/2
    2.73418622139339-1.57079632675     		φ = 1.16338989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23159483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.565186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16338989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.657331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9961 KachelY 8159 -1.23159483 1.16338989 -70.565186 66.657331
    Oben rechts KachelX + 1 9962 KachelY 8159 -1.23140308 1.16338989 -70.554199 66.657331
    Unten links KachelX 9961 KachelY + 1 8160 -1.23159483 1.16331391 -70.565186 66.652977
    Unten rechts KachelX + 1 9962 KachelY + 1 8160 -1.23140308 1.16331391 -70.554199 66.652977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16338989-1.16331391) × R
    7.59799999998645e-05 × 6371000     		dl = 484.068579999137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16338989-1.16331391) × R
    7.59799999998645e-05 × 6371000     		dr = 484.068579999137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23159483--1.23140308) × cos(1.16338989) × R
    0.000191749999999935 × 0.396229379194338 × 6371000     		do = 484.049361626772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23159483--1.23140308) × cos(1.16331391) × R
    0.000191749999999935 × 0.396299139205757 × 6371000     		du = 484.134583194803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16338989)-sin(1.16331391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396229379194338-0.396299139205757)×R²
    abs(-1.23140308--1.23159483)×6.97600114195063e-05×R²
    0.000191749999999935×6.97600114195063e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.97600114195063e-05×40589641000000     		ar = 234333.713787156m²