Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99609 / 100701
↖ ↑ ↗
← S 69.002723°
E 93.584290°		 ← 109.44 m → S 69.002723°
E 93.587036°		 →
↑
109.39 m
↓
↑
109.39 m
↓
S 69.003707°
E 93.584290°		 ← 109.44 m →
11 972 m²		 S 69.003707°
E 93.587036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759960174560547 y=0.768291473388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759960174560547 × 217)
    floor (0.759960174560547 × 131072)
    floor (99609.5)     		tx = 99609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768291473388672 × 217)
    floor (0.768291473388672 × 131072)
    floor (100701.5)     		ty = 100701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99609 / 100701 ti = "17/99609/100701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99609/100701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99609 ÷ 217
    99609 ÷ 131072     		x = 0.759956359863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100701 ÷ 217
    100701 ÷ 131072     		y = 0.768287658691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759956359863281 × 2 - 1) × π
    0.519912719726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.63335398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768287658691406 × 2 - 1) × π
    -0.536575317382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.68570107513927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63335398} λ = 1.63335398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68570107513927))-π/2
    2×atan(0.185314467037919)-π/2
    2×0.183235809687754-π/2
    0.366471619375508-1.57079632675     		φ = -1.20432471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63335398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.584290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20432471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.002723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99609 KachelY 100701 1.63335398 -1.20432471 93.584290 -69.002723
    Oben rechts KachelX + 1 99610 KachelY 100701 1.63340192 -1.20432471 93.587036 -69.002723
    Unten links KachelX 99609 KachelY + 1 100702 1.63335398 -1.20434188 93.584290 -69.003707
    Unten rechts KachelX + 1 99610 KachelY + 1 100702 1.63340192 -1.20434188 93.587036 -69.003707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20432471--1.20434188) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dl = 109.390070000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20432471--1.20434188) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dr = 109.390070000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63335398-1.63340192) × cos(-1.20432471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358323579681556 × 6371000     		do = 109.441244483616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63335398-1.63340192) × cos(-1.20434188) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358307549760397 × 6371000     		du = 109.436348533084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20432471)-sin(-1.20434188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358323579681556-0.358307549760397)×R²
    abs(1.63340192-1.63335398)×1.6029921159233e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6029921159233e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6029921159233e-05×40589641000000     		ar = 11971.5176112687m²