Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99608 / 100744
↖ ↑ ↗
← S 69.045001°
E 93.581543°		 ← 109.23 m → S 69.045001°
E 93.584290°		 →
↑
109.26 m
↓
↑
109.26 m
↓
S 69.045984°
E 93.581543°		 ← 109.23 m →
11 935 m²		 S 69.045984°
E 93.584290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759952545166016 y=0.768619537353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759952545166016 × 217)
    floor (0.759952545166016 × 131072)
    floor (99608.5)     		tx = 99608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768619537353516 × 217)
    floor (0.768619537353516 × 131072)
    floor (100744.5)     		ty = 100744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99608 / 100744 ti = "17/99608/100744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99608/100744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99608 ÷ 217
    99608 ÷ 131072     		x = 0.75994873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100744 ÷ 217
    100744 ÷ 131072     		y = 0.76861572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75994873046875 × 2 - 1) × π
    0.5198974609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63330604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76861572265625 × 2 - 1) × π
    -0.5372314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68776236182294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63330604} λ = 1.63330604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68776236182294))-π/2
    2×atan(0.184932874215938)-π/2
    2×0.182866861025661-π/2
    0.365733722051321-1.57079632675     		φ = -1.20506260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63330604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.581543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20506260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.045001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99608 KachelY 100744 1.63330604 -1.20506260 93.581543 -69.045001
    Oben rechts KachelX + 1 99609 KachelY 100744 1.63335398 -1.20506260 93.584290 -69.045001
    Unten links KachelX 99608 KachelY + 1 100745 1.63330604 -1.20507975 93.581543 -69.045984
    Unten rechts KachelX + 1 99609 KachelY + 1 100745 1.63335398 -1.20507975 93.584290 -69.045984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20506260--1.20507975) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dl = 109.262649999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20506260--1.20507975) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dr = 109.262649999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63330604-1.63335398) × cos(-1.20506260) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.357634589966014 × 6371000     		do = 109.230809290401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63330604-1.63335398) × cos(-1.20507975) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.35761857418687 × 6371000     		du = 109.225917659204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20506260)-sin(-1.20507975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357634589966014-0.35761857418687)×R²
    abs(1.63335398-1.63330604)×1.6015779144507e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.6015779144507e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.6015779144507e-05×40589641000000     		ar = 11934.5804486449m²