Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99600 / 100656
↖ ↑ ↗
← S 68.958391°
E 93.559570°		 ← 109.66 m → S 68.958391°
E 93.562317°		 →
↑
109.64 m
↓
↑
109.64 m
↓
S 68.959377°
E 93.559570°		 ← 109.66 m →
12 024 m²		 S 68.959377°
E 93.562317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759891510009766 y=0.767948150634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759891510009766 × 217)
    floor (0.759891510009766 × 131072)
    floor (99600.5)     		tx = 99600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767948150634766 × 217)
    floor (0.767948150634766 × 131072)
    floor (100656.5)     		ty = 100656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99600 / 100656 ti = "17/99600/100656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99600/100656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99600 ÷ 217
    99600 ÷ 131072     		x = 0.7598876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100656 ÷ 217
    100656 ÷ 131072     		y = 0.7679443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7598876953125 × 2 - 1) × π
    0.519775390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.63292255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.535888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68354391465637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63292255} λ = 1.63292255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68354391465637))-π/2
    2×atan(0.185714651559058)-π/2
    2×0.183622679816798-π/2
    0.367245359633596-1.57079632675     		φ = -1.20355097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63292255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.559570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20355097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.958391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99600 KachelY 100656 1.63292255 -1.20355097 93.559570 -68.958391
    Oben rechts KachelX + 1 99601 KachelY 100656 1.63297049 -1.20355097 93.562317 -68.958391
    Unten links KachelX 99600 KachelY + 1 100657 1.63292255 -1.20356818 93.559570 -68.959377
    Unten rechts KachelX + 1 99601 KachelY + 1 100657 1.63297049 -1.20356818 93.562317 -68.959377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20355097--1.20356818) × R
    1.72099999999897e-05 × 6371000     		dl = 109.644909999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20355097--1.20356818) × R
    1.72099999999897e-05 × 6371000     		dr = 109.644909999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63292255-1.63297049) × cos(-1.20355097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359045834046651 × 6371000     		do = 109.661839557544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63292255-1.63297049) × cos(-1.20356818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35902977155751 × 6371000     		du = 109.656933659911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20355097)-sin(-1.20356818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359045834046651-0.35902977155751)×R²
    abs(1.63297049-1.63292255)×1.6062489141655e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6062489141655e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6062489141655e-05×40589641000000     		ar = 12023.5935755313m²