Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 996 / 998
↖ ↑ ↗
← N 79.383905°
W136.230469°		 ← 900.23 m → N 79.383905°
W136.186523°		 →
↑
900.54 m
↓
↑
900.54 m
↓
N 79.375806°
W136.230469°		 ← 900.91 m →
810 996 m²		 N 79.375806°
W136.186523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12164306640625 y=0.12188720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12164306640625 × 213)
    floor (0.12164306640625 × 8192)
    floor (996.5)     		tx = 996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12188720703125 × 213)
    floor (0.12188720703125 × 8192)
    floor (998.5)     		ty = 998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 996 / 998 ti = "13/996/998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/996/998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 996 ÷ 213
    996 ÷ 8192     		x = 0.12158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 998 ÷ 213
    998 ÷ 8192     		y = 0.121826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12158203125 × 2 - 1) × π
    -0.7568359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.37767022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121826171875 × 2 - 1) × π
    0.75634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37613624036694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37767022} λ = -2.37767022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37613624036694))-π/2
    2×atan(10.7632358638789)-π/2
    2×1.47815341981223-π/2
    2.95630683962446-1.57079632675     		φ = 1.38551051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37767022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.230469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38551051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.383905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 996 KachelY 998 -2.37767022 1.38551051 -136.230469 79.383905
    Oben rechts KachelX + 1 997 KachelY 998 -2.37690323 1.38551051 -136.186523 79.383905
    Unten links KachelX 996 KachelY + 1 999 -2.37767022 1.38536916 -136.230469 79.375806
    Unten rechts KachelX + 1 997 KachelY + 1 999 -2.37690323 1.38536916 -136.186523 79.375806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38551051-1.38536916) × R
    0.00014135000000004 × 6371000     		dl = 900.540850000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38551051-1.38536916) × R
    0.00014135000000004 × 6371000     		dr = 900.540850000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37767022--2.37690323) × cos(1.38551051) × R
    0.000766990000000245 × 0.184227465699549 × 6371000     		do = 900.226274974838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37767022--2.37690323) × cos(1.38536916) × R
    0.000766990000000245 × 0.184366394460544 × 6371000     		du = 900.905149433231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38551051)-sin(1.38536916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184227465699549-0.184366394460544)×R²
    abs(-2.37690323--2.37767022)×0.000138928760995582×R²
    0.000766990000000245×0.000138928760995582×6371000²
    0.000766990000000245×0.000138928760995582×40589641000000     		ar = 810996.213297948m²