Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 996 / 500
↖ ↑ ↗
← N 67.339861°
W  4.921875°		 ← 7 530.36 m → N 67.339861°
W  4.746094°		 →
↑
7 541.03 m
↓
↑
7 541.03 m
↓
N 67.272043°
W  4.921875°		 ← 7 551.71 m →
56 867 207 m²		 N 67.272043°
W  4.746094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486572265625 y=0.244384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486572265625 × 211)
    floor (0.486572265625 × 2048)
    floor (996.5)     		tx = 996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244384765625 × 211)
    floor (0.244384765625 × 2048)
    floor (500.5)     		ty = 500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 996 / 500 ti = "11/996/500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/996/500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 996 ÷ 211
    996 ÷ 2048     		x = 0.486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 500 ÷ 211
    500 ÷ 2048     		y = 0.244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486328125 × 2 - 1) × π
    -0.02734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08590292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244140625 × 2 - 1) × π
    0.51171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6076118656582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08590292} λ = -0.08590292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6076118656582))-π/2
    2×atan(4.99087809716585)-π/2
    2×1.37304930800925-π/2
    2.7460986160185-1.57079632675     		φ = 1.17530229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08590292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17530229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.339861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 996 KachelY 500 -0.08590292 1.17530229 -4.921875 67.339861
    Oben rechts KachelX + 1 997 KachelY 500 -0.08283496 1.17530229 -4.746094 67.339861
    Unten links KachelX 996 KachelY + 1 501 -0.08590292 1.17411864 -4.921875 67.272043
    Unten rechts KachelX + 1 997 KachelY + 1 501 -0.08283496 1.17411864 -4.746094 67.272043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17530229-1.17411864) × R
    0.00118364999999998 × 6371000     		dl = 7541.03414999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17530229-1.17411864) × R
    0.00118364999999998 × 6371000     		dr = 7541.03414999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08590292--0.08283496) × cos(1.17530229) × R
    0.00306795999999999 × 0.385264136093535 × 6371000     		do = 7530.36246359481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08590292--0.08283496) × cos(1.17411864) × R
    0.00306795999999999 × 0.38635614568282 × 6371000     		du = 7551.70685371743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17530229)-sin(1.17411864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385264136093535-0.38635614568282)×R²
    abs(-0.08283496--0.08590292)×0.00109200958928479×R²
    0.00306795999999999×0.00109200958928479×6371000²
    0.00306795999999999×0.00109200958928479×40589641000000     		ar = 56867206.5266469m²