Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99599 / 100655
↖ ↑ ↗
← S 68.957405°
E 93.556824°		 ← 109.67 m → S 68.957405°
E 93.559570°		 →
↑
109.64 m
↓
↑
109.64 m
↓
S 68.958391°
E 93.556824°		 ← 109.66 m →
12 024 m²		 S 68.958391°
E 93.559570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759883880615234 y=0.767940521240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759883880615234 × 217)
    floor (0.759883880615234 × 131072)
    floor (99599.5)     		tx = 99599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767940521240234 × 217)
    floor (0.767940521240234 × 131072)
    floor (100655.5)     		ty = 100655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99599 / 100655 ti = "17/99599/100655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99599/100655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99599 ÷ 217
    99599 ÷ 131072     		x = 0.759880065917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100655 ÷ 217
    100655 ÷ 131072     		y = 0.767936706542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759880065917969 × 2 - 1) × π
    0.519760131835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.63287461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767936706542969 × 2 - 1) × π
    -0.535873413085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.68349597775675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63287461} λ = 1.63287461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68349597775675))-π/2
    2×atan(0.185723554357053)-π/2
    2×0.18363128578143-π/2
    0.36726257156286-1.57079632675     		φ = -1.20353376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63287461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.556824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20353376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.957405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99599 KachelY 100655 1.63287461 -1.20353376 93.556824 -68.957405
    Oben rechts KachelX + 1 99600 KachelY 100655 1.63292255 -1.20353376 93.559570 -68.957405
    Unten links KachelX 99599 KachelY + 1 100656 1.63287461 -1.20355097 93.556824 -68.958391
    Unten rechts KachelX + 1 99600 KachelY + 1 100656 1.63292255 -1.20355097 93.559570 -68.958391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20353376--1.20355097) × R
    1.72099999999897e-05 × 6371000     		dl = 109.644909999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20353376--1.20355097) × R
    1.72099999999897e-05 × 6371000     		dr = 109.644909999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63287461-1.63292255) × cos(-1.20353376) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359061896429449 × 6371000     		do = 109.666745422696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63287461-1.63292255) × cos(-1.20355097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359045834046651 × 6371000     		du = 109.661839557544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20353376)-sin(-1.20355097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359061896429449-0.359045834046651)×R²
    abs(1.63292255-1.63287461)×1.60623827978879e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60623827978879e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60623827978879e-05×40589641000000     		ar = 12024.1314807078m²