Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99596 / 100684
↖ ↑ ↗
← S 68.985986°
E 93.548584°		 ← 109.52 m → S 68.985986°
E 93.551331°		 →
↑
109.52 m
↓
↑
109.52 m
↓
S 68.986971°
E 93.548584°		 ← 109.52 m →
11 995 m²		 S 68.986971°
E 93.551331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759860992431641 y=0.768161773681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759860992431641 × 217)
    floor (0.759860992431641 × 131072)
    floor (99596.5)     		tx = 99596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768161773681641 × 217)
    floor (0.768161773681641 × 131072)
    floor (100684.5)     		ty = 100684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99596 / 100684 ti = "17/99596/100684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99596/100684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99596 ÷ 217
    99596 ÷ 131072     		x = 0.759857177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100684 ÷ 217
    100684 ÷ 131072     		y = 0.768157958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759857177734375 × 2 - 1) × π
    0.51971435546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63273080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768157958984375 × 2 - 1) × π
    -0.53631591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68488614784573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63273080} λ = 1.63273080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68488614784573))-π/2
    2×atan(0.185465546405986)-π/2
    2×0.183381869074131-π/2
    0.366763738148263-1.57079632675     		φ = -1.20403259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63273080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.548584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20403259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.985986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99596 KachelY 100684 1.63273080 -1.20403259 93.548584 -68.985986
    Oben rechts KachelX + 1 99597 KachelY 100684 1.63277874 -1.20403259 93.551331 -68.985986
    Unten links KachelX 99596 KachelY + 1 100685 1.63273080 -1.20404978 93.548584 -68.986971
    Unten rechts KachelX + 1 99597 KachelY + 1 100685 1.63277874 -1.20404978 93.551331 -68.986971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20403259--1.20404978) × R
    1.71900000001113e-05 × 6371000     		dl = 109.517490000709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20403259--1.20404978) × R
    1.71900000001113e-05 × 6371000     		dr = 109.517490000709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63273080-1.63277874) × cos(-1.20403259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35859628687829 × 6371000     		do = 109.524536280982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63273080-1.63277874) × cos(-1.20404978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35858024008504 × 6371000     		du = 109.519635177279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20403259)-sin(-1.20404978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35859628687829-0.35858024008504)×R²
    abs(1.63277874-1.63273080)×1.60467932499575e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60467932499575e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60467932499575e-05×40589641000000     		ar = 11994.5839289286m²