Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99595 / 100692
↖ ↑ ↗
← S 68.993863°
E 93.545837°		 ← 109.49 m → S 68.993863°
E 93.548584°		 →
↑
109.52 m
↓
↑
109.52 m
↓
S 68.994848°
E 93.545837°		 ← 109.48 m →
11 990 m²		 S 68.994848°
E 93.548584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759853363037109 y=0.768222808837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759853363037109 × 217)
    floor (0.759853363037109 × 131072)
    floor (99595.5)     		tx = 99595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768222808837891 × 217)
    floor (0.768222808837891 × 131072)
    floor (100692.5)     		ty = 100692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99595 / 100692 ti = "17/99595/100692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99595/100692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99595 ÷ 217
    99595 ÷ 131072     		x = 0.759849548339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100692 ÷ 217
    100692 ÷ 131072     		y = 0.768218994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759849548339844 × 2 - 1) × π
    0.519699096679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.63268286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768218994140625 × 2 - 1) × π
    -0.53643798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68526964304269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63268286} λ = 1.63268286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68526964304269))-π/2
    2×atan(0.18539443489607)-π/2
    2×0.183313121403496-π/2
    0.366626242806992-1.57079632675     		φ = -1.20417008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63268286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.545837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20417008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.993863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99595 KachelY 100692 1.63268286 -1.20417008 93.545837 -68.993863
    Oben rechts KachelX + 1 99596 KachelY 100692 1.63273080 -1.20417008 93.548584 -68.993863
    Unten links KachelX 99595 KachelY + 1 100693 1.63268286 -1.20418727 93.545837 -68.994848
    Unten rechts KachelX + 1 99596 KachelY + 1 100693 1.63273080 -1.20418727 93.548584 -68.994848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20417008--1.20418727) × R
    1.71900000001113e-05 × 6371000     		dl = 109.517490000709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20417008--1.20418727) × R
    1.71900000001113e-05 × 6371000     		dr = 109.517490000709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63268286-1.63273080) × cos(-1.20417008) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358467937571964 × 6371000     		do = 109.485335099119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63268286-1.63273080) × cos(-1.20418727) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358451889931359 × 6371000     		du = 109.480433736612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20417008)-sin(-1.20418727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358467937571964-0.358451889931359)×R²
    abs(1.63273080-1.63268286)×1.6047640604866e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6047640604866e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6047640604866e-05×40589641000000     		ar = 11990.2906998597m²