Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99594 / 100688
↖ ↑ ↗
← S 68.989925°
E 93.543091°		 ← 109.48 m → S 68.989925°
E 93.545837°		 →
↑
109.52 m
↓
↑
109.52 m
↓
S 68.990910°
E 93.543091°		 ← 109.48 m →
11 990 m²		 S 68.990910°
E 93.545837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759845733642578 y=0.768192291259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759845733642578 × 217)
    floor (0.759845733642578 × 131072)
    floor (99594.5)     		tx = 99594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768192291259766 × 217)
    floor (0.768192291259766 × 131072)
    floor (100688.5)     		ty = 100688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99594 / 100688 ti = "17/99594/100688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99594/100688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99594 ÷ 217
    99594 ÷ 131072     		x = 0.759841918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100688 ÷ 217
    100688 ÷ 131072     		y = 0.7681884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759841918945312 × 2 - 1) × π
    0.519683837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.63263493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7681884765625 × 2 - 1) × π
    -0.536376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68507789544421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63263493} λ = 1.63263493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68507789544421))-π/2
    2×atan(0.185429987242163)-π/2
    2×0.18334749216236-π/2
    0.366694984324721-1.57079632675     		φ = -1.20410134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63263493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.543091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20410134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.989925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99594 KachelY 100688 1.63263493 -1.20410134 93.543091 -68.989925
    Oben rechts KachelX + 1 99595 KachelY 100688 1.63268286 -1.20410134 93.545837 -68.989925
    Unten links KachelX 99594 KachelY + 1 100689 1.63263493 -1.20411853 93.543091 -68.990910
    Unten rechts KachelX + 1 99595 KachelY + 1 100689 1.63268286 -1.20411853 93.545837 -68.990910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20410134--1.20411853) × R
    1.71899999998892e-05 × 6371000     		dl = 109.517489999294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20410134--1.20411853) × R
    1.71899999998892e-05 × 6371000     		dr = 109.517489999294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63263493-1.63268286) × cos(-1.20410134) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.358532108404729 × 6371000     		do = 109.482092442715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63263493-1.63268286) × cos(-1.20411853) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.358516061187733 × 6371000     		du = 109.477192231957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20410134)-sin(-1.20411853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358532108404729-0.358516061187733)×R²
    abs(1.63268286-1.63263493)×1.60472169959402e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60472169959402e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60472169959402e-05×40589641000000     		ar = 11989.9356351638m²