Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99591 / 100696
↖ ↑ ↗
← S 68.997801°
E 93.534851°		 ← 109.44 m → S 68.997801°
E 93.537597°		 →
↑
109.45 m
↓
↑
109.45 m
↓
S 68.998786°
E 93.534851°		 ← 109.44 m →
11 979 m²		 S 68.998786°
E 93.537597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759822845458984 y=0.768253326416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759822845458984 × 217)
    floor (0.759822845458984 × 131072)
    floor (99591.5)     		tx = 99591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768253326416016 × 217)
    floor (0.768253326416016 × 131072)
    floor (100696.5)     		ty = 100696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99591 / 100696 ti = "17/99591/100696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99591/100696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99591 ÷ 217
    99591 ÷ 131072     		x = 0.759819030761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100696 ÷ 217
    100696 ÷ 131072     		y = 0.76824951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759819030761719 × 2 - 1) × π
    0.519638061523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.63249112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76824951171875 × 2 - 1) × π
    -0.5364990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68546139064117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63249112} λ = 1.63249112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68546139064117))-π/2
    2×atan(0.185358889366401)-π/2
    2×0.1832787567966-π/2
    0.366557513593199-1.57079632675     		φ = -1.20423881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63249112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.534851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20423881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.997801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99591 KachelY 100696 1.63249112 -1.20423881 93.534851 -68.997801
    Oben rechts KachelX + 1 99592 KachelY 100696 1.63253905 -1.20423881 93.537597 -68.997801
    Unten links KachelX 99591 KachelY + 1 100697 1.63249112 -1.20425599 93.534851 -68.998786
    Unten rechts KachelX + 1 99592 KachelY + 1 100697 1.63253905 -1.20425599 93.537597 -68.998786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20423881--1.20425599) × R
    1.717999999995e-05 × 6371000     		dl = 109.453779999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20423881--1.20425599) × R
    1.717999999995e-05 × 6371000     		dr = 109.453779999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63249112-1.63253905) × cos(-1.20423881) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.358403774381037 × 6371000     		do = 109.442904104723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63249112-1.63253905) × cos(-1.20425599) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.35838773565269 × 6371000     		du = 109.438006486076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20423881)-sin(-1.20425599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358403774381037-0.35838773565269)×R²
    abs(1.63253905-1.63249112)×1.6038728347656e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6038728347656e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6038728347656e-05×40589641000000     		ar = 11978.6715171575m²