Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9958 / 10354
↖ ↑ ↗
← S 42.843751°
E 38.803711°		 ← 1 791.39 m → S 42.843751°
E 38.825683°		 →
↑
1 791.21 m
↓
↑
1 791.21 m
↓
S 42.859860°
E 38.803711°		 ← 1 790.92 m →
3 208 334 m²		 S 42.859860°
E 38.825683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607818603515625 y=0.631988525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607818603515625 × 214)
    floor (0.607818603515625 × 16384)
    floor (9958.5)     		tx = 9958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631988525390625 × 214)
    floor (0.631988525390625 × 16384)
    floor (10354.5)     		ty = 10354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9958 / 10354 ti = "14/9958/10354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9958/10354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9958 ÷ 214
    9958 ÷ 16384     		x = 0.6077880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10354 ÷ 214
    10354 ÷ 16384     		y = 0.6319580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6077880859375 × 2 - 1) × π
    0.215576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67725252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6319580078125 × 2 - 1) × π
    -0.263916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.829116615828491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67725252} λ = 0.67725252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.829116615828491))-π/2
    2×atan(0.436434655548547)-π/2
    2×0.41151590113141-π/2
    0.82303180226282-1.57079632675     		φ = -0.74776452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67725252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.803711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74776452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.843751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9958 KachelY 10354 0.67725252 -0.74776452 38.803711 -42.843751
    Oben rechts KachelX + 1 9959 KachelY 10354 0.67763601 -0.74776452 38.825683 -42.843751
    Unten links KachelX 9958 KachelY + 1 10355 0.67725252 -0.74804567 38.803711 -42.859860
    Unten rechts KachelX + 1 9959 KachelY + 1 10355 0.67763601 -0.74804567 38.825683 -42.859860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74776452--0.74804567) × R
    0.000281149999999952 × 6371000     		dl = 1791.2066499997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74776452--0.74804567) × R
    0.000281149999999952 × 6371000     		dr = 1791.2066499997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67725252-0.67763601) × cos(-0.74776452) × R
    0.000383489999999931 × 0.733210829160377 × 6371000     		do = 1791.39154199247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67725252-0.67763601) × cos(-0.74804567) × R
    0.000383489999999931 × 0.733019617795804 × 6371000     		du = 1790.92437155853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74776452)-sin(-0.74804567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733210829160377-0.733019617795804)×R²
    abs(0.67763601-0.67725252)×0.000191211364572896×R²
    0.000383489999999931×0.000191211364572896×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191211364572896×40589641000000     		ar = 3208334.06451006m²