Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99557 / 100715
↖ ↑ ↗
← S 69.016497°
E 93.441467°		 ← 109.37 m → S 69.016497°
E 93.444214°		 →
↑
109.33 m
↓
↑
109.33 m
↓
S 69.017480°
E 93.441467°		 ← 109.37 m →
11 957 m²		 S 69.017480°
E 93.444214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759563446044922 y=0.768398284912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759563446044922 × 217)
    floor (0.759563446044922 × 131072)
    floor (99557.5)     		tx = 99557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768398284912109 × 217)
    floor (0.768398284912109 × 131072)
    floor (100715.5)     		ty = 100715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99557 / 100715 ti = "17/99557/100715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99557/100715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99557 ÷ 217
    99557 ÷ 131072     		x = 0.759559631347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100715 ÷ 217
    100715 ÷ 131072     		y = 0.768394470214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759559631347656 × 2 - 1) × π
    0.519119262695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.63086126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768394470214844 × 2 - 1) × π
    -0.536788940429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.68637219173396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63086126} λ = 1.63086126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68637219173396))-π/2
    2×atan(0.185190141147106)-π/2
    2×0.183115608897809-π/2
    0.366231217795617-1.57079632675     		φ = -1.20456511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63086126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.441467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20456511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.016497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99557 KachelY 100715 1.63086126 -1.20456511 93.441467 -69.016497
    Oben rechts KachelX + 1 99558 KachelY 100715 1.63090920 -1.20456511 93.444214 -69.016497
    Unten links KachelX 99557 KachelY + 1 100716 1.63086126 -1.20458227 93.441467 -69.017480
    Unten rechts KachelX + 1 99558 KachelY + 1 100716 1.63090920 -1.20458227 93.444214 -69.017480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20456511--1.20458227) × R
    1.71599999998495e-05 × 6371000     		dl = 109.326359999041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20456511--1.20458227) × R
    1.71599999998495e-05 × 6371000     		dr = 109.326359999041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63086126-1.63090920) × cos(-1.20456511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35809913250084 × 6371000     		do = 109.372692537356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63086126-1.63090920) × cos(-1.20458227) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358083110438034 × 6371000     		du = 109.367798986967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20456511)-sin(-1.20458227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35809913250084-0.358083110438034)×R²
    abs(1.63090920-1.63086126)×1.60220628064311e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60220628064311e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60220628064311e-05×40589641000000     		ar = 11957.0508615949m²