Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99553 / 100717
↖ ↑ ↗
← S 69.018464°
E 93.430481°		 ← 109.36 m → S 69.018464°
E 93.433227°		 →
↑
109.33 m
↓
↑
109.33 m
↓
S 69.019447°
E 93.430481°		 ← 109.36 m →
11 956 m²		 S 69.019447°
E 93.433227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759532928466797 y=0.768413543701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759532928466797 × 217)
    floor (0.759532928466797 × 131072)
    floor (99553.5)     		tx = 99553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768413543701172 × 217)
    floor (0.768413543701172 × 131072)
    floor (100717.5)     		ty = 100717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99553 / 100717 ti = "17/99553/100717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99553/100717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99553 ÷ 217
    99553 ÷ 131072     		x = 0.759529113769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100717 ÷ 217
    100717 ÷ 131072     		y = 0.768409729003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759529113769531 × 2 - 1) × π
    0.519058227539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.63066951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768409729003906 × 2 - 1) × π
    -0.536819458007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.6864680655332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63066951} λ = 1.63066951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6864680655332))-π/2
    2×atan(0.18517238711578)-π/2
    2×0.183098443503897-π/2
    0.366196887007794-1.57079632675     		φ = -1.20459944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63066951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.430481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20459944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.018464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99553 KachelY 100717 1.63066951 -1.20459944 93.430481 -69.018464
    Oben rechts KachelX + 1 99554 KachelY 100717 1.63071745 -1.20459944 93.433227 -69.018464
    Unten links KachelX 99553 KachelY + 1 100718 1.63066951 -1.20461660 93.430481 -69.019447
    Unten rechts KachelX + 1 99554 KachelY + 1 100718 1.63071745 -1.20461660 93.433227 -69.019447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20459944--1.20461660) × R
    1.71600000000716e-05 × 6371000     		dl = 109.326360000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20459944--1.20461660) × R
    1.71600000000716e-05 × 6371000     		dr = 109.326360000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63066951-1.63071745) × cos(-1.20459944) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358067078932826 × 6371000     		do = 109.362902552625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63066951-1.63071745) × cos(-1.20461660) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358051056659076 × 6371000     		du = 109.358008937809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20459944)-sin(-1.20461660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358067078932826-0.358051056659076)×R²
    abs(1.63071745-1.63066951)×1.60222737496385e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60222737496385e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60222737496385e-05×40589641000000     		ar = 11955.9805549414m²