Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99551 / 100703
↖ ↑ ↗
← S 69.004691°
E 93.424988°		 ← 109.43 m → S 69.004691°
E 93.427735°		 →
↑
109.39 m
↓
↑
109.39 m
↓
S 69.005675°
E 93.424988°		 ← 109.43 m →
11 970 m²		 S 69.005675°
E 93.427735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759517669677734 y=0.768306732177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759517669677734 × 217)
    floor (0.759517669677734 × 131072)
    floor (99551.5)     		tx = 99551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768306732177734 × 217)
    floor (0.768306732177734 × 131072)
    floor (100703.5)     		ty = 100703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99551 / 100703 ti = "17/99551/100703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99551/100703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99551 ÷ 217
    99551 ÷ 131072     		x = 0.759513854980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100703 ÷ 217
    100703 ÷ 131072     		y = 0.768302917480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759513854980469 × 2 - 1) × π
    0.519027709960938 × 3.1415926535     		Λ = 1.63057364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768302917480469 × 2 - 1) × π
    -0.536605834960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.68579694893851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63057364} λ = 1.63057364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68579694893851))-π/2
    2×atan(0.185296701087568)-π/2
    2×0.18321863353488-π/2
    0.36643726706976-1.57079632675     		φ = -1.20435906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63057364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.424988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20435906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.004691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99551 KachelY 100703 1.63057364 -1.20435906 93.424988 -69.004691
    Oben rechts KachelX + 1 99552 KachelY 100703 1.63062158 -1.20435906 93.427735 -69.004691
    Unten links KachelX 99551 KachelY + 1 100704 1.63057364 -1.20437623 93.424988 -69.005675
    Unten rechts KachelX + 1 99552 KachelY + 1 100704 1.63062158 -1.20437623 93.427735 -69.005675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20435906--1.20437623) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dl = 109.390070000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20435906--1.20437623) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dr = 109.390070000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63057364-1.63062158) × cos(-1.20435906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358291510397508 × 6371000     		do = 109.431449698805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63057364-1.63062158) × cos(-1.20437623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358275480265027 × 6371000     		du = 109.42655368373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20435906)-sin(-1.20437623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358291510397508-0.358275480265027)×R²
    abs(1.63062158-1.63057364)×1.60301324805823e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60301324805823e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60301324805823e-05×40589641000000     		ar = 11970.4461553106m²