Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99547 / 100734
↖ ↑ ↗
← S 69.035177°
E 93.414001°		 ← 109.28 m → S 69.035177°
E 93.416748°		 →
↑
109.26 m
↓
↑
109.26 m
↓
S 69.036159°
E 93.414001°		 ← 109.27 m →
11 940 m²		 S 69.036159°
E 93.416748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759487152099609 y=0.768543243408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759487152099609 × 217)
    floor (0.759487152099609 × 131072)
    floor (99547.5)     		tx = 99547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768543243408203 × 217)
    floor (0.768543243408203 × 131072)
    floor (100734.5)     		ty = 100734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99547 / 100734 ti = "17/99547/100734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99547/100734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99547 ÷ 217
    99547 ÷ 131072     		x = 0.759483337402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100734 ÷ 217
    100734 ÷ 131072     		y = 0.768539428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759483337402344 × 2 - 1) × π
    0.518966674804688 × 3.1415926535     		Λ = 1.63038189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768539428710938 × 2 - 1) × π
    -0.537078857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68728299282674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63038189} λ = 1.63038189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68728299282674))-π/2
    2×atan(0.185021546553902)-π/2
    2×0.182952599681014-π/2
    0.365905199362028-1.57079632675     		φ = -1.20489113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63038189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.414001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20489113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.035177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99547 KachelY 100734 1.63038189 -1.20489113 93.414001 -69.035177
    Oben rechts KachelX + 1 99548 KachelY 100734 1.63042983 -1.20489113 93.416748 -69.035177
    Unten links KachelX 99547 KachelY + 1 100735 1.63038189 -1.20490828 93.414001 -69.036159
    Unten rechts KachelX + 1 99548 KachelY + 1 100735 1.63042983 -1.20490828 93.416748 -69.036159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20489113--1.20490828) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dl = 109.262649999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20489113--1.20490828) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dr = 109.262649999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63038189-1.63042983) × cos(-1.20489113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357794713957314 × 6371000     		do = 109.279715278429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63038189-1.63042983) × cos(-1.20490828) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357778699230081 × 6371000     		du = 109.274823968513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20489113)-sin(-1.20490828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357794713957314-0.357778699230081)×R²
    abs(1.63042983-1.63038189)×1.60147272327826e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60147272327826e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60147272327826e-05×40589641000000     		ar = 11939.9240639704m²