Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99536 / 100714
↖ ↑ ↗
← S 69.015513°
E 93.383789°		 ← 109.35 m → S 69.015513°
E 93.386535°		 →
↑
109.39 m
↓
↑
109.39 m
↓
S 69.016497°
E 93.383789°		 ← 109.35 m →
11 962 m²		 S 69.016497°
E 93.386535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759403228759766 y=0.768390655517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759403228759766 × 217)
    floor (0.759403228759766 × 131072)
    floor (99536.5)     		tx = 99536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768390655517578 × 217)
    floor (0.768390655517578 × 131072)
    floor (100714.5)     		ty = 100714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99536 / 100714 ti = "17/99536/100714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99536/100714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99536 ÷ 217
    99536 ÷ 131072     		x = 0.7593994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100714 ÷ 217
    100714 ÷ 131072     		y = 0.768386840820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7593994140625 × 2 - 1) × π
    0.518798828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62985459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768386840820312 × 2 - 1) × π
    -0.536773681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68632425483434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62985459} λ = 1.62985459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68632425483434))-π/2
    2×atan(0.185199018801095)-π/2
    2×0.183124192170998-π/2
    0.366248384341996-1.57079632675     		φ = -1.20454794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62985459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.383789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20454794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.015513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99536 KachelY 100714 1.62985459 -1.20454794 93.383789 -69.015513
    Oben rechts KachelX + 1 99537 KachelY 100714 1.62990252 -1.20454794 93.386535 -69.015513
    Unten links KachelX 99536 KachelY + 1 100715 1.62985459 -1.20456511 93.383789 -69.016497
    Unten rechts KachelX + 1 99537 KachelY + 1 100715 1.62990252 -1.20456511 93.386535 -69.016497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20454794--1.20456511) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dl = 109.390070000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20454794--1.20456511) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dr = 109.390070000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62985459-1.62990252) × cos(-1.20454794) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.358115163794973 × 6371000     		do = 109.354773389776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62985459-1.62990252) × cos(-1.20456511) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.35809913250084 × 6371000     		du = 109.349878041256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20454794)-sin(-1.20456511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358115163794973-0.35809913250084)×R²
    abs(1.62990252-1.62985459)×1.60312941329122e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.60312941329122e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.60312941329122e-05×40589641000000     		ar = 11962.058565114m²