Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99534 / 100709
↖ ↑ ↗
← S 69.010595°
E 93.378296°		 ← 109.40 m → S 69.010595°
E 93.381042°		 →
↑
109.39 m
↓
↑
109.39 m
↓
S 69.011579°
E 93.378296°		 ← 109.40 m →
11 967 m²		 S 69.011579°
E 93.381042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759387969970703 y=0.768352508544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759387969970703 × 217)
    floor (0.759387969970703 × 131072)
    floor (99534.5)     		tx = 99534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768352508544922 × 217)
    floor (0.768352508544922 × 131072)
    floor (100709.5)     		ty = 100709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99534 / 100709 ti = "17/99534/100709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99534/100709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99534 ÷ 217
    99534 ÷ 131072     		x = 0.759384155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100709 ÷ 217
    100709 ÷ 131072     		y = 0.768348693847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759384155273438 × 2 - 1) × π
    0.518768310546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.62975871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768348693847656 × 2 - 1) × π
    -0.536697387695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.68608457033624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62975871} λ = 1.62975871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68608457033624))-π/2
    2×atan(0.185243413455108)-π/2
    2×0.183167114299869-π/2
    0.366334228599738-1.57079632675     		φ = -1.20446210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62975871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.378296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20446210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.010595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99534 KachelY 100709 1.62975871 -1.20446210 93.378296 -69.010595
    Oben rechts KachelX + 1 99535 KachelY 100709 1.62980665 -1.20446210 93.381042 -69.010595
    Unten links KachelX 99534 KachelY + 1 100710 1.62975871 -1.20447927 93.378296 -69.011579
    Unten rechts KachelX + 1 99535 KachelY + 1 100710 1.62980665 -1.20447927 93.381042 -69.011579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20446210--1.20447927) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dl = 109.390070000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20446210--1.20447927) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dr = 109.390070000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62975871-1.62980665) × cos(-1.20446210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358195309345444 × 6371000     		do = 109.402067421289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62975871-1.62980665) × cos(-1.20447927) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358179278579174 × 6371000     		du = 109.397171212639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20446210)-sin(-1.20447927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358195309345444-0.358179278579174)×R²
    abs(1.62980665-1.62975871)×1.6030766269437e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6030766269437e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6030766269437e-05×40589641000000     		ar = 11967.2320153531m²