Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99512 / 33944
↖ ↑ ↗
← N 65.192251°
E 93.317871°		 ← 128.15 m → N 65.192251°
E 93.320618°		 →
↑
128.12 m
↓
↑
128.12 m
↓
N 65.191098°
E 93.317871°		 ← 128.15 m →
16 419 m²		 N 65.191098°
E 93.320618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759220123291016 y=0.258975982666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759220123291016 × 217)
    floor (0.759220123291016 × 131072)
    floor (99512.5)     		tx = 99512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258975982666016 × 217)
    floor (0.258975982666016 × 131072)
    floor (33944.5)     		ty = 33944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99512 / 33944 ti = "17/99512/33944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99512/33944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99512 ÷ 217
    99512 ÷ 131072     		x = 0.75921630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33944 ÷ 217
    33944 ÷ 131072     		y = 0.25897216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75921630859375 × 2 - 1) × π
    0.5184326171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.62870410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25897216796875 × 2 - 1) × π
    0.4820556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51442253279681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62870410} λ = 1.62870410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51442253279681))-π/2
    2×atan(4.54679474374945)-π/2
    2×1.35430787546268-π/2
    2.70861575092536-1.57079632675     		φ = 1.13781942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62870410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.317871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13781942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.192251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99512 KachelY 33944 1.62870410 1.13781942 93.317871 65.192251
    Oben rechts KachelX + 1 99513 KachelY 33944 1.62875204 1.13781942 93.320618 65.192251
    Unten links KachelX 99512 KachelY + 1 33945 1.62870410 1.13779931 93.317871 65.191098
    Unten rechts KachelX + 1 99513 KachelY + 1 33945 1.62875204 1.13779931 93.320618 65.191098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13781942-1.13779931) × R
    2.01100000001286e-05 × 6371000     		dl = 128.12081000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13781942-1.13779931) × R
    2.01100000001286e-05 × 6371000     		dr = 128.12081000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62870410-1.62875204) × cos(1.13781942) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41957485760138 × 6371000     		do = 128.148961368212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62870410-1.62875204) × cos(1.13779931) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419593111780587 × 6371000     		du = 128.154536664405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13781942)-sin(1.13779931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41957485760138-0.419593111780587)×R²
    abs(1.62875204-1.62870410)×1.82541792069779e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82541792069779e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82541792069779e-05×40589641000000     		ar = 16418.9058874995m²