Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9951 / 18272
↖ ↑ ↗
← N 62.021528°
W125.337525°		 ← 286.57 m → N 62.021528°
W125.332031°		 →
↑
286.57 m
↓
↑
286.57 m
↓
N 62.018951°
W125.337525°		 ← 286.60 m →
82 127 m²		 N 62.018951°
W125.332031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.151847839355469 y=0.278816223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.151847839355469 × 216)
    floor (0.151847839355469 × 65536)
    floor (9951.5)     		tx = 9951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.278816223144531 × 216)
    floor (0.278816223144531 × 65536)
    floor (18272.5)     		ty = 18272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9951 / 18272 ti = "16/9951/18272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9951/18272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9951 ÷ 216
    9951 ÷ 65536     		x = 0.151840209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18272 ÷ 216
    18272 ÷ 65536     		y = 0.27880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.151840209960938 × 2 - 1) × π
    -0.696319580078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.18755248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27880859375 × 2 - 1) × π
    0.4423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.38978659378467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18755248} λ = -2.18755248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.38978659378467))-π/2
    2×atan(4.01399335045534)-π/2
    2×1.32663810041391-π/2
    2.65327620082783-1.57079632675     		φ = 1.08247987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18755248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -125.337525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08247987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.021528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9951 KachelY 18272 -2.18755248 1.08247987 -125.337525 62.021528
    Oben rechts KachelX + 1 9952 KachelY 18272 -2.18745660 1.08247987 -125.332031 62.021528
    Unten links KachelX 9951 KachelY + 1 18273 -2.18755248 1.08243489 -125.337525 62.018951
    Unten rechts KachelX + 1 9952 KachelY + 1 18273 -2.18745660 1.08243489 -125.332031 62.018951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08247987-1.08243489) × R
    4.49799999999723e-05 × 6371000     		dl = 286.567579999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08247987-1.08243489) × R
    4.49799999999723e-05 × 6371000     		dr = 286.567579999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18755248--2.18745660) × cos(1.08247987) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.469139776432619 × 6371000     		do = 286.574726760547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18755248--2.18745660) × cos(1.08243489) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.469179498872253 × 6371000     		du = 286.598991271586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08247987)-sin(1.08243489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.469139776432619-0.469179498872253)×R²
    abs(-2.18745660--2.18755248)×3.97224396342377e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.97224396342377e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.97224396342377e-05×40589641000000     		ar = 82126.5026618535m²