Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99505 / 33937
↖ ↑ ↗
← N 65.200316°
E 93.298645°		 ← 128.11 m → N 65.200316°
E 93.301392°		 →
↑
128.06 m
↓
↑
128.06 m
↓
N 65.199164°
E 93.298645°		 ← 128.12 m →
16 406 m²		 N 65.199164°
E 93.301392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759166717529297 y=0.258922576904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759166717529297 × 217)
    floor (0.759166717529297 × 131072)
    floor (99505.5)     		tx = 99505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258922576904297 × 217)
    floor (0.258922576904297 × 131072)
    floor (33937.5)     		ty = 33937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99505 / 33937 ti = "17/99505/33937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99505/33937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99505 ÷ 217
    99505 ÷ 131072     		x = 0.759162902832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33937 ÷ 217
    33937 ÷ 131072     		y = 0.258918762207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759162902832031 × 2 - 1) × π
    0.518325805664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.62836854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258918762207031 × 2 - 1) × π
    0.482162475585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.51475809109415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62836854} λ = 1.62836854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51475809109415))-π/2
    2×atan(4.54832071446376)-π/2
    2×1.35437826065426-π/2
    2.70875652130852-1.57079632675     		φ = 1.13796019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62836854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.298645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13796019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.200316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99505 KachelY 33937 1.62836854 1.13796019 93.298645 65.200316
    Oben rechts KachelX + 1 99506 KachelY 33937 1.62841648 1.13796019 93.301392 65.200316
    Unten links KachelX 99505 KachelY + 1 33938 1.62836854 1.13794009 93.298645 65.199164
    Unten rechts KachelX + 1 99506 KachelY + 1 33938 1.62841648 1.13794009 93.301392 65.199164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13796019-1.13794009) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dl = 128.057099999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13796019-1.13794009) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dr = 128.057099999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62836854-1.62841648) × cos(1.13796019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419447073596274 × 6371000     		do = 128.109932843892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62836854-1.62841648) × cos(1.13794009) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41946531988538 × 6371000     		du = 128.115505730245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13796019)-sin(1.13794009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419447073596274-0.41946531988538)×R²
    abs(1.62841648-1.62836854)×1.82462891062385e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82462891062385e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82462891062385e-05×40589641000000     		ar = 16405.7433056907m²