Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99501 / 33947
↖ ↑ ↗
← N 65.188793°
E 93.287659°		 ← 128.14 m → N 65.188793°
E 93.290405°		 →
↑
128.18 m
↓
↑
128.18 m
↓
N 65.187641°
E 93.287659°		 ← 128.14 m →
16 426 m²		 N 65.187641°
E 93.290405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759136199951172 y=0.258998870849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759136199951172 × 217)
    floor (0.759136199951172 × 131072)
    floor (99501.5)     		tx = 99501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258998870849609 × 217)
    floor (0.258998870849609 × 131072)
    floor (33947.5)     		ty = 33947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99501 / 33947 ti = "17/99501/33947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99501/33947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99501 ÷ 217
    99501 ÷ 131072     		x = 0.759132385253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33947 ÷ 217
    33947 ÷ 131072     		y = 0.258995056152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759132385253906 × 2 - 1) × π
    0.518264770507812 × 3.1415926535     		Λ = 1.62817680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258995056152344 × 2 - 1) × π
    0.482009887695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.51427872209795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62817680} λ = 1.62817680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51427872209795))-π/2
    2×atan(4.54614091303483)-π/2
    2×1.35427770381696-π/2
    2.70855540763392-1.57079632675     		φ = 1.13775908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62817680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.287659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13775908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.188793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99501 KachelY 33947 1.62817680 1.13775908 93.287659 65.188793
    Oben rechts KachelX + 1 99502 KachelY 33947 1.62822473 1.13775908 93.290405 65.188793
    Unten links KachelX 99501 KachelY + 1 33948 1.62817680 1.13773896 93.287659 65.187641
    Unten rechts KachelX + 1 99502 KachelY + 1 33948 1.62822473 1.13773896 93.290405 65.187641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13775908-1.13773896) × R
    2.01199999998458e-05 × 6371000     		dl = 128.184519999018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13775908-1.13773896) × R
    2.01199999998458e-05 × 6371000     		dr = 128.184519999018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62817680-1.62822473) × cos(1.13775908) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.419629628706882 × 6371000     		do = 128.138955269565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62817680-1.62822473) × cos(1.13773896) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.419647891453786 × 6371000     		du = 128.144532019033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13775908)-sin(1.13773896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419629628706882-0.419647891453786)×R²
    abs(1.62822473-1.62817680)×1.82627469043628e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.82627469043628e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.82627469043628e-05×40589641000000     		ar = 16425.7879015761m²