Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9950 / 18271
↖ ↑ ↗
← N 62.024105°
W125.343018°		 ← 286.52 m → N 62.024105°
W125.337525°		 →
↑
286.57 m
↓
↑
286.57 m
↓
N 62.021528°
W125.343018°		 ← 286.54 m →
82 111 m²		 N 62.021528°
W125.337525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.151832580566406 y=0.278800964355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.151832580566406 × 216)
    floor (0.151832580566406 × 65536)
    floor (9950.5)     		tx = 9950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.278800964355469 × 216)
    floor (0.278800964355469 × 65536)
    floor (18271.5)     		ty = 18271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9950 / 18271 ti = "16/9950/18271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9950/18271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9950 ÷ 216
    9950 ÷ 65536     		x = 0.151824951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18271 ÷ 216
    18271 ÷ 65536     		y = 0.278793334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.151824951171875 × 2 - 1) × π
    -0.69635009765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.18764835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.278793334960938 × 2 - 1) × π
    0.442413330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.38988246758391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18764835} λ = -2.18764835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.38988246758391))-π/2
    2×atan(4.01437820569645)-π/2
    2×1.32666058856807-π/2
    2.65332117713615-1.57079632675     		φ = 1.08252485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18764835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -125.343018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08252485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.024105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9950 KachelY 18271 -2.18764835 1.08252485 -125.343018 62.024105
    Oben rechts KachelX + 1 9951 KachelY 18271 -2.18755248 1.08252485 -125.337525 62.024105
    Unten links KachelX 9950 KachelY + 1 18272 -2.18764835 1.08247987 -125.343018 62.021528
    Unten rechts KachelX + 1 9951 KachelY + 1 18272 -2.18755248 1.08247987 -125.337525 62.021528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08252485-1.08247987) × R
    4.49799999999723e-05 × 6371000     		dl = 286.567579999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08252485-1.08247987) × R
    4.49799999999723e-05 × 6371000     		dr = 286.567579999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18764835--2.18755248) × cos(1.08252485) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.469100053043821 × 6371000     		do = 286.520575305511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18764835--2.18755248) × cos(1.08247987) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.469139776432619 × 6371000     		du = 286.544837865572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08252485)-sin(1.08247987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.469100053043821-0.469139776432619)×R²
    abs(-2.18755248--2.18764835)×3.97233887980408e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.97233887980408e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.97233887980408e-05×40589641000000     		ar = 82110.9843305853m²