Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9950 / 10353
↖ ↑ ↗
← S 42.827638°
E 38.627930°		 ← 1 791.86 m → S 42.827638°
E 38.649902°		 →
↑
1 791.65 m
↓
↑
1 791.65 m
↓
S 42.843751°
E 38.627930°		 ← 1 791.39 m →
3 209 970 m²		 S 42.843751°
E 38.649902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607330322265625 y=0.631927490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607330322265625 × 214)
    floor (0.607330322265625 × 16384)
    floor (9950.5)     		tx = 9950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631927490234375 × 214)
    floor (0.631927490234375 × 16384)
    floor (10353.5)     		ty = 10353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9950 / 10353 ti = "14/9950/10353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9950/10353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9950 ÷ 214
    9950 ÷ 16384     		x = 0.6072998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10353 ÷ 214
    10353 ÷ 16384     		y = 0.63189697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6072998046875 × 2 - 1) × π
    0.214599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67418456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63189697265625 × 2 - 1) × π
    -0.2637939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.828733120631531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67418456} λ = 0.67418456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.828733120631531))-π/2
    2×atan(0.436602058239749)-π/2
    2×0.411656510877753-π/2
    0.823313021755506-1.57079632675     		φ = -0.74748330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67418456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.627930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74748330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.827638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9950 KachelY 10353 0.67418456 -0.74748330 38.627930 -42.827638
    Oben rechts KachelX + 1 9951 KachelY 10353 0.67456805 -0.74748330 38.649902 -42.827638
    Unten links KachelX 9950 KachelY + 1 10354 0.67418456 -0.74776452 38.627930 -42.843751
    Unten rechts KachelX + 1 9951 KachelY + 1 10354 0.67456805 -0.74776452 38.649902 -42.843751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74748330--0.74776452) × R
    0.000281220000000082 × 6371000     		dl = 1791.65262000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74748330--0.74776452) × R
    0.000281220000000082 × 6371000     		dr = 1791.65262000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67418456-0.67456805) × cos(-0.74748330) × R
    0.000383489999999931 × 0.733402030153727 × 6371000     		do = 1791.85868708729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67418456-0.67456805) × cos(-0.74776452) × R
    0.000383489999999931 × 0.733210829160377 × 6371000     		du = 1791.39154199247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74748330)-sin(-0.74776452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733402030153727-0.733210829160377)×R²
    abs(0.67456805-0.67418456)×0.000191200993350016×R²
    0.000383489999999931×0.000191200993350016×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191200993350016×40589641000000     		ar = 3209969.85167972m²