Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 995 / 1184
↖ ↑ ↗
← S 27.059126°
W  5.097656°		 ← 17.406 km → S 27.059126°
W  4.921875°		 →
↑
17.394 km
↓
↑
17.394 km
↓
S 27.215556°
W  5.097656°		 ← 17.382 km →
302.561 km²		 S 27.215556°
W  4.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486083984375 y=0.578369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486083984375 × 211)
    floor (0.486083984375 × 2048)
    floor (995.5)     		tx = 995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578369140625 × 211)
    floor (0.578369140625 × 2048)
    floor (1184.5)     		ty = 1184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 995 / 1184 ti = "11/995/1184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/995/1184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 995 ÷ 211
    995 ÷ 2048     		x = 0.48583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1184 ÷ 211
    1184 ÷ 2048     		y = 0.578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48583984375 × 2 - 1) × π
    -0.0283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08897089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578125 × 2 - 1) × π
    -0.15625 × 3.1415926535     		Φ = -0.490873852109375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08897089} λ = -0.08897089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.490873852109375))-π/2
    2×atan(0.612091283155602)-π/2
    2×0.549262744579385-π/2
    1.09852548915877-1.57079632675     		φ = -0.47227084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08897089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.097656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47227084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.059126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 995 KachelY 1184 -0.08897089 -0.47227084 -5.097656 -27.059126
    Oben rechts KachelX + 1 996 KachelY 1184 -0.08590292 -0.47227084 -4.921875 -27.059126
    Unten links KachelX 995 KachelY + 1 1185 -0.08897089 -0.47500106 -5.097656 -27.215556
    Unten rechts KachelX + 1 996 KachelY + 1 1185 -0.08590292 -0.47500106 -4.921875 -27.215556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47227084--0.47500106) × R
    0.00273021999999995 × 6371000     		dl = 17394.2316199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47227084--0.47500106) × R
    0.00273021999999995 × 6371000     		dr = 17394.2316199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08897089--0.08590292) × cos(-0.47227084) × R
    0.00306797 × 0.890537558006442 × 6371000     		do = 17406.4799429137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08897089--0.08590292) × cos(-0.47500106) × R
    0.00306797 × 0.889292236843915 × 6371000     		du = 17382.1388495559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47227084)-sin(-0.47500106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890537558006442-0.889292236843915)×R²
    abs(-0.08590292--0.08897089)×0.00124532116252729×R²
    0.00306797×0.00124532116252729×6371000²
    0.00306797×0.00124532116252729×40589641000000     		ar = 302560834.451324m²