Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 995 / 1182
↖ ↑ ↗
← S 26.745610°
W  5.097656°		 ← 17.455 km → S 26.745610°
W  4.921875°		 →
↑
17.443 km
↓
↑
17.443 km
↓
S 26.902477°
W  5.097656°		 ← 17.431 km →
304.251 km²		 S 26.902477°
W  4.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486083984375 y=0.577392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486083984375 × 211)
    floor (0.486083984375 × 2048)
    floor (995.5)     		tx = 995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577392578125 × 211)
    floor (0.577392578125 × 2048)
    floor (1182.5)     		ty = 1182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 995 / 1182 ti = "11/995/1182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/995/1182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 995 ÷ 211
    995 ÷ 2048     		x = 0.48583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1182 ÷ 211
    1182 ÷ 2048     		y = 0.5771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48583984375 × 2 - 1) × π
    -0.0283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08897089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5771484375 × 2 - 1) × π
    -0.154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.484737928958008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08897089} λ = -0.08897089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.484737928958008))-π/2
    2×atan(0.615858574315461)-π/2
    2×0.551998682591159-π/2
    1.10399736518232-1.57079632675     		φ = -0.46679896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08897089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.097656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46679896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.745610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 995 KachelY 1182 -0.08897089 -0.46679896 -5.097656 -26.745610
    Oben rechts KachelX + 1 996 KachelY 1182 -0.08590292 -0.46679896 -4.921875 -26.745610
    Unten links KachelX 995 KachelY + 1 1183 -0.08897089 -0.46953680 -5.097656 -26.902477
    Unten rechts KachelX + 1 996 KachelY + 1 1183 -0.08590292 -0.46953680 -4.921875 -26.902477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46679896--0.46953680) × R
    0.00273783999999999 × 6371000     		dl = 17442.7786399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46679896--0.46953680) × R
    0.00273783999999999 × 6371000     		dr = 17442.7786399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08897089--0.08590292) × cos(-0.46679896) × R
    0.00306797 × 0.893013425041148 × 6371000     		do = 17454.8733312593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08897089--0.08590292) × cos(-0.46953680) × R
    0.00306797 × 0.891777969470339 × 6371000     		du = 17430.725071121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46679896)-sin(-0.46953680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893013425041148-0.891777969470339)×R²
    abs(-0.08590292--0.08897089)×0.00123545557080951×R²
    0.00306797×0.00123545557080951×6371000²
    0.00306797×0.00123545557080951×40589641000000     		ar = 304251075.377972m²