Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9949 / 10357
↖ ↑ ↗
← S 42.892064°
E 38.605957°		 ← 1 790.04 m → S 42.892064°
E 38.627930°		 →
↑
1 789.81 m
↓
↑
1 789.81 m
↓
S 42.908160°
E 38.605957°		 ← 1 789.57 m →
3 203 399 m²		 S 42.908160°
E 38.627930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607269287109375 y=0.632171630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607269287109375 × 214)
    floor (0.607269287109375 × 16384)
    floor (9949.5)     		tx = 9949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632171630859375 × 214)
    floor (0.632171630859375 × 16384)
    floor (10357.5)     		ty = 10357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9949 / 10357 ti = "14/9949/10357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9949/10357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9949 ÷ 214
    9949 ÷ 16384     		x = 0.60723876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10357 ÷ 214
    10357 ÷ 16384     		y = 0.63214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60723876953125 × 2 - 1) × π
    0.2144775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67380106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63214111328125 × 2 - 1) × π
    -0.2642822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.830267101419373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67380106} λ = 0.67380106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830267101419373))-π/2
    2×atan(0.435932832491427)-π/2
    2×0.411094291876827-π/2
    0.822188583753654-1.57079632675     		φ = -0.74860774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67380106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.605957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74860774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.892064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9949 KachelY 10357 0.67380106 -0.74860774 38.605957 -42.892064
    Oben rechts KachelX + 1 9950 KachelY 10357 0.67418456 -0.74860774 38.627930 -42.892064
    Unten links KachelX 9949 KachelY + 1 10358 0.67380106 -0.74888867 38.605957 -42.908160
    Unten rechts KachelX + 1 9950 KachelY + 1 10358 0.67418456 -0.74888867 38.627930 -42.908160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74860774--0.74888867) × R
    0.000280930000000068 × 6371000     		dl = 1789.80503000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74860774--0.74888867) × R
    0.000280930000000068 × 6371000     		dr = 1789.80503000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67380106-0.67418456) × cos(-0.74860774) × R
    0.000383500000000092 × 0.732637177798944 × 6371000     		do = 1790.03666481727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67380106-0.67418456) × cos(-0.74888867) × R
    0.000383500000000092 × 0.732445942483346 × 6371000     		du = 1789.56942368223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74860774)-sin(-0.74888867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732637177798944-0.732445942483346)×R²
    abs(0.67418456-0.67380106)×0.000191235315597393×R²
    0.000383500000000092×0.000191235315597393×6371000²
    0.000383500000000092×0.000191235315597393×40589641000000     		ar = 3203398.51237656m²