Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9948 / 10330
↖ ↑ ↗
← S 42.455888°
E 38.583985°		 ← 1 802.60 m → S 42.455888°
E 38.605957°		 →
↑
1 802.36 m
↓
↑
1 802.36 m
↓
S 42.472097°
E 38.583985°		 ← 1 802.13 m →
3 248 501 m²		 S 42.472097°
E 38.605957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607208251953125 y=0.630523681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607208251953125 × 214)
    floor (0.607208251953125 × 16384)
    floor (9948.5)     		tx = 9948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630523681640625 × 214)
    floor (0.630523681640625 × 16384)
    floor (10330.5)     		ty = 10330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9948 / 10330 ti = "14/9948/10330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9948/10330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9948 ÷ 214
    9948 ÷ 16384     		x = 0.607177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10330 ÷ 214
    10330 ÷ 16384     		y = 0.6304931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607177734375 × 2 - 1) × π
    0.21435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67341757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6304931640625 × 2 - 1) × π
    -0.260986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.81991273110144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67341757} λ = 0.67341757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81991273110144))-π/2
    2×atan(0.440470092168561)-π/2
    2×0.414900650301505-π/2
    0.82980130060301-1.57079632675     		φ = -0.74099503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67341757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.583985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74099503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.455888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9948 KachelY 10330 0.67341757 -0.74099503 38.583985 -42.455888
    Oben rechts KachelX + 1 9949 KachelY 10330 0.67380106 -0.74099503 38.605957 -42.455888
    Unten links KachelX 9948 KachelY + 1 10331 0.67341757 -0.74127793 38.583985 -42.472097
    Unten rechts KachelX + 1 9949 KachelY + 1 10331 0.67380106 -0.74127793 38.605957 -42.472097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74099503--0.74127793) × R
    0.000282899999999975 × 6371000     		dl = 1802.35589999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74099503--0.74127793) × R
    0.000282899999999975 × 6371000     		dr = 1802.35589999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67341757-0.67380106) × cos(-0.74099503) × R
    0.000383489999999931 × 0.737797256566414 × 6371000     		do = 1802.59716926416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67341757-0.67380106) × cos(-0.74127793) × R
    0.000383489999999931 × 0.737606263214923 × 6371000     		du = 1802.13053148301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74099503)-sin(-0.74127793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737797256566414-0.737606263214923)×R²
    abs(0.67380106-0.67341757)×0.000190993351490754×R²
    0.000383489999999931×0.000190993351490754×6371000²
    0.000383489999999931×0.000190993351490754×40589641000000     		ar = 3248501.14133176m²