Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99460 / 33923
↖ ↑ ↗
← N 65.216440°
E 93.175049°		 ← 128.03 m → N 65.216440°
E 93.177795°		 →
↑
128.06 m
↓
↑
128.06 m
↓
N 65.215289°
E 93.175049°		 ← 128.04 m →
16 396 m²		 N 65.215289°
E 93.177795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758823394775391 y=0.258815765380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758823394775391 × 217)
    floor (0.758823394775391 × 131072)
    floor (99460.5)     		tx = 99460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258815765380859 × 217)
    floor (0.258815765380859 × 131072)
    floor (33923.5)     		ty = 33923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99460 / 33923 ti = "17/99460/33923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99460/33923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99460 ÷ 217
    99460 ÷ 131072     		x = 0.758819580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33923 ÷ 217
    33923 ÷ 131072     		y = 0.258811950683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.758819580078125 × 2 - 1) × π
    0.51763916015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.62621138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258811950683594 × 2 - 1) × π
    0.482376098632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.51542920768884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62621138} λ = 1.62621138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51542920768884))-π/2
    2×atan(4.55137419247845)-π/2
    2×1.35451896673161-π/2
    2.70903793346322-1.57079632675     		φ = 1.13824161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62621138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.175049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13824161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.216440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99460 KachelY 33923 1.62621138 1.13824161 93.175049 65.216440
    Oben rechts KachelX + 1 99461 KachelY 33923 1.62625932 1.13824161 93.177795 65.216440
    Unten links KachelX 99460 KachelY + 1 33924 1.62621138 1.13822151 93.175049 65.215289
    Unten rechts KachelX + 1 99461 KachelY + 1 33924 1.62625932 1.13822151 93.177795 65.215289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13824161-1.13822151) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dl = 128.057099999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13824161-1.13822151) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dr = 128.057099999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62621138-1.62625932) × cos(1.13824161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419191589600799 × 6371000     		do = 128.031901455516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62621138-1.62625932) × cos(1.13822151) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419209838261855 × 6371000     		du = 128.037475066323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13824161)-sin(1.13822151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419191589600799-0.419209838261855)×R²
    abs(1.62625932-1.62621138)×1.82486610552646e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82486610552646e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82486610552646e-05×40589641000000     		ar = 16395.7508785309m²