Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99457 / 33924
↖ ↑ ↗
← N 65.215289°
E 93.166809°		 ← 128.04 m → N 65.215289°
E 93.169556°		 →
↑
127.99 m
↓
↑
127.99 m
↓
N 65.214138°
E 93.166809°		 ← 128.04 m →
16 388 m²		 N 65.214138°
E 93.169556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758800506591797 y=0.258823394775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758800506591797 × 217)
    floor (0.758800506591797 × 131072)
    floor (99457.5)     		tx = 99457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258823394775391 × 217)
    floor (0.258823394775391 × 131072)
    floor (33924.5)     		ty = 33924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99457 / 33924 ti = "17/99457/33924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99457/33924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99457 ÷ 217
    99457 ÷ 131072     		x = 0.758796691894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33924 ÷ 217
    33924 ÷ 131072     		y = 0.258819580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.758796691894531 × 2 - 1) × π
    0.517593383789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.62606757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258819580078125 × 2 - 1) × π
    0.48236083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51538127078922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62606757} λ = 1.62606757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51538127078922))-π/2
    2×atan(4.55115601893997)-π/2
    2×1.35450891914032-π/2
    2.70901783828064-1.57079632675     		φ = 1.13822151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62606757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.166809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13822151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.215289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99457 KachelY 33924 1.62606757 1.13822151 93.166809 65.215289
    Oben rechts KachelX + 1 99458 KachelY 33924 1.62611551 1.13822151 93.169556 65.215289
    Unten links KachelX 99457 KachelY + 1 33925 1.62606757 1.13820142 93.166809 65.214138
    Unten rechts KachelX + 1 99458 KachelY + 1 33925 1.62611551 1.13820142 93.169556 65.214138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13822151-1.13820142) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dl = 127.993390000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13822151-1.13820142) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dr = 127.993390000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62606757-1.62611551) × cos(1.13822151) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419209838261855 × 6371000     		do = 128.037475066323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62606757-1.62611551) × cos(1.13820142) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419228077674735 × 6371000     		du = 128.0430458525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13822151)-sin(1.13820142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419209838261855-0.419228077674735)×R²
    abs(1.62611551-1.62606757)×1.82394128808161e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82394128808161e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82394128808161e-05×40589641000000     		ar = 16388.3069932389m²