Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9945 / 8152
↖ ↑ ↗
← N 66.687784°
W 70.740967°		 ← 483.45 m → N 66.687784°
W 70.729981°		 →
↑
483.50 m
↓
↑
483.50 m
↓
N 66.683436°
W 70.740967°		 ← 483.54 m →
233 768 m²		 N 66.683436°
W 70.729981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303512573242188 y=0.248794555664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303512573242188 × 215)
    floor (0.303512573242188 × 32768)
    floor (9945.5)     		tx = 9945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248794555664062 × 215)
    floor (0.248794555664062 × 32768)
    floor (8152.5)     		ty = 8152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9945 / 8152 ti = "15/9945/8152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9945/8152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9945 ÷ 215
    9945 ÷ 32768     		x = 0.303497314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8152 ÷ 215
    8152 ÷ 32768     		y = 0.248779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.303497314453125 × 2 - 1) × π
    -0.39300537109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.23466279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248779296875 × 2 - 1) × π
    0.50244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.57846623068921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23466279} λ = -1.23466279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57846623068921))-π/2
    2×atan(4.84751513660676)-π/2
    2×1.36735886300633-π/2
    2.73471772601266-1.57079632675     		φ = 1.16392140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23466279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.740967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16392140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.687784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9945 KachelY 8152 -1.23466279 1.16392140 -70.740967 66.687784
    Oben rechts KachelX + 1 9946 KachelY 8152 -1.23447104 1.16392140 -70.729981 66.687784
    Unten links KachelX 9945 KachelY + 1 8153 -1.23466279 1.16384551 -70.740967 66.683436
    Unten rechts KachelX + 1 9946 KachelY + 1 8153 -1.23447104 1.16384551 -70.729981 66.683436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16392140-1.16384551) × R
    7.58899999999674e-05 × 6371000     		dl = 483.495189999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16392140-1.16384551) × R
    7.58899999999674e-05 × 6371000     		dr = 483.495189999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23466279--1.23447104) × cos(1.16392140) × R
    0.000191749999999935 × 0.395741316516025 × 6371000     		do = 483.453125102486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23466279--1.23447104) × cos(1.16384551) × R
    0.000191749999999935 × 0.3958110098705 × 6371000     		du = 483.538265239776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16392140)-sin(1.16384551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395741316516025-0.3958110098705)×R²
    abs(-1.23447104--1.23466279)×6.96933544748757e-05×R²
    0.000191749999999935×6.96933544748757e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.96933544748757e-05×40589641000000     		ar = 233767.843113093m²