Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9944 / 8154
↖ ↑ ↗
← N 66.679087°
W 70.751953°		 ← 483.60 m → N 66.679087°
W 70.740967°		 →
↑
483.69 m
↓
↑
483.69 m
↓
N 66.674737°
W 70.751953°		 ← 483.68 m →
233 930 m²		 N 66.674737°
W 70.740967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303482055664062 y=0.248855590820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303482055664062 × 215)
    floor (0.303482055664062 × 32768)
    floor (9944.5)     		tx = 9944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248855590820312 × 215)
    floor (0.248855590820312 × 32768)
    floor (8154.5)     		ty = 8154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9944 / 8154 ti = "15/9944/8154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9944/8154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9944 ÷ 215
    9944 ÷ 32768     		x = 0.303466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8154 ÷ 215
    8154 ÷ 32768     		y = 0.24884033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.303466796875 × 2 - 1) × π
    -0.39306640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.23485453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24884033203125 × 2 - 1) × π
    0.5023193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.57808273549225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23485453} λ = -1.23485453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57808273549225))-π/2
    2×atan(4.84565649424767)-π/2
    2×1.36728296719543-π/2
    2.73456593439086-1.57079632675     		φ = 1.16376961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23485453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16376961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.679087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9944 KachelY 8154 -1.23485453 1.16376961 -70.751953 66.679087
    Oben rechts KachelX + 1 9945 KachelY 8154 -1.23466279 1.16376961 -70.740967 66.679087
    Unten links KachelX 9944 KachelY + 1 8155 -1.23485453 1.16369369 -70.751953 66.674737
    Unten rechts KachelX + 1 9945 KachelY + 1 8155 -1.23466279 1.16369369 -70.740967 66.674737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16376961-1.16369369) × R
    7.59200000000071e-05 × 6371000     		dl = 483.686320000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16376961-1.16369369) × R
    7.59200000000071e-05 × 6371000     		dr = 483.686320000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23485453--1.23466279) × cos(1.16376961) × R
    0.000191739999999996 × 0.395880710128403 × 6371000     		do = 483.598192250677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23485453--1.23466279) × cos(1.16369369) × R
    0.000191739999999996 × 0.395950426471151 × 6371000     		du = 483.683356029716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16376961)-sin(1.16369369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395880710128403-0.395950426471151)×R²
    abs(-1.23466279--1.23485453)×6.97163427474945e-05×R²
    0.000191739999999996×6.97163427474945e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.97163427474945e-05×40589641000000     		ar = 233930.426358538m²