Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9943 / 2391
↖ ↑ ↗
← N 77.660043°
E 38.474121°		 ← 522.16 m → N 77.660043°
E 38.496094°		 →
↑
522.23 m
↓
↑
522.23 m
↓
N 77.655346°
E 38.474121°		 ← 522.35 m →
272 738 m²		 N 77.655346°
E 38.496094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606903076171875 y=0.145965576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606903076171875 × 214)
    floor (0.606903076171875 × 16384)
    floor (9943.5)     		tx = 9943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145965576171875 × 214)
    floor (0.145965576171875 × 16384)
    floor (2391.5)     		ty = 2391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9943 / 2391 ti = "14/9943/2391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9943/2391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9943 ÷ 214
    9943 ÷ 16384     		x = 0.60687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2391 ÷ 214
    2391 ÷ 16384     		y = 0.14593505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60687255859375 × 2 - 1) × π
    0.2137451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67150009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14593505859375 × 2 - 1) × π
    0.7081298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22465563756757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67150009} λ = 0.67150009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22465563756757))-π/2
    2×atan(9.25029680066145)-π/2
    2×1.46310988459744-π/2
    2.92621976919487-1.57079632675     		φ = 1.35542344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67150009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.474121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35542344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.660043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9943 KachelY 2391 0.67150009 1.35542344 38.474121 77.660043
    Oben rechts KachelX + 1 9944 KachelY 2391 0.67188359 1.35542344 38.496094 77.660043
    Unten links KachelX 9943 KachelY + 1 2392 0.67150009 1.35534147 38.474121 77.655346
    Unten rechts KachelX + 1 9944 KachelY + 1 2392 0.67188359 1.35534147 38.496094 77.655346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35542344-1.35534147) × R
    8.19700000000978e-05 × 6371000     		dl = 522.230870000623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35542344-1.35534147) × R
    8.19700000000978e-05 × 6371000     		dr = 522.230870000623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67150009-0.67188359) × cos(1.35542344) × R
    0.000383499999999981 × 0.213711715056266 × 6371000     		do = 522.157238595075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67150009-0.67188359) × cos(1.35534147) × R
    0.000383499999999981 × 0.213791790566591 × 6371000     		du = 522.35288536783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35542344)-sin(1.35534147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213711715056266-0.213791790566591)×R²
    abs(0.67188359-0.67150009)×8.00755103256834e-05×R²
    0.000383499999999981×8.00755103256834e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.00755103256834e-05×40589641000000     		ar = 272737.715532211m²