Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9942 / 8121
↖ ↑ ↗
← N 66.822196°
W 70.773926°		 ← 480.82 m → N 66.822196°
W 70.762939°		 →
↑
480.82 m
↓
↑
480.82 m
↓
N 66.817872°
W 70.773926°		 ← 480.90 m →
231 208 m²		 N 66.817872°
W 70.762939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303421020507812 y=0.247848510742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303421020507812 × 215)
    floor (0.303421020507812 × 32768)
    floor (9942.5)     		tx = 9942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247848510742188 × 215)
    floor (0.247848510742188 × 32768)
    floor (8121.5)     		ty = 8121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9942 / 8121 ti = "15/9942/8121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9942/8121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9942 ÷ 215
    9942 ÷ 32768     		x = 0.30340576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8121 ÷ 215
    8121 ÷ 32768     		y = 0.247833251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30340576171875 × 2 - 1) × π
    -0.3931884765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.23523803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247833251953125 × 2 - 1) × π
    0.50433349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.5844104062421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23523803} λ = -1.23523803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5844104062421))-π/2
    2×atan(4.8764154266779)-π/2
    2×1.36853183537234-π/2
    2.73706367074468-1.57079632675     		φ = 1.16626734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23523803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.773926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16626734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.822196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9942 KachelY 8121 -1.23523803 1.16626734 -70.773926 66.822196
    Oben rechts KachelX + 1 9943 KachelY 8121 -1.23504628 1.16626734 -70.762939 66.822196
    Unten links KachelX 9942 KachelY + 1 8122 -1.23523803 1.16619187 -70.773926 66.817872
    Unten rechts KachelX + 1 9943 KachelY + 1 8122 -1.23504628 1.16619187 -70.762939 66.817872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16626734-1.16619187) × R
    7.54700000000774e-05 × 6371000     		dl = 480.819370000493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16626734-1.16619187) × R
    7.54700000000774e-05 × 6371000     		dr = 480.819370000493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23523803--1.23504628) × cos(1.16626734) × R
    0.000191750000000157 × 0.393585807313672 × 6371000     		do = 480.819870457713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23523803--1.23504628) × cos(1.16619187) × R
    0.000191750000000157 × 0.393655184849278 × 6371000     		du = 480.904624778277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16626734)-sin(1.16619187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393585807313672-0.393655184849278)×R²
    abs(-1.23504628--1.23523803)×6.93775356052639e-05×R²
    0.000191750000000157×6.93775356052639e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.93775356052639e-05×40589641000000     		ar = 231207.883067075m²