Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99403 / 33986
↖ ↑ ↗
← N 65.143806°
E 93.018494°		 ← 128.38 m → N 65.143806°
E 93.021240°		 →
↑
128.38 m
↓
↑
128.38 m
↓
N 65.142651°
E 93.018494°		 ← 128.39 m →
16 482 m²		 N 65.142651°
E 93.021240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758388519287109 y=0.259296417236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758388519287109 × 217)
    floor (0.758388519287109 × 131072)
    floor (99403.5)     		tx = 99403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259296417236328 × 217)
    floor (0.259296417236328 × 131072)
    floor (33986.5)     		ty = 33986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99403 / 33986 ti = "17/99403/33986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99403/33986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99403 ÷ 217
    99403 ÷ 131072     		x = 0.758384704589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33986 ÷ 217
    33986 ÷ 131072     		y = 0.259292602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.758384704589844 × 2 - 1) × π
    0.516769409179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.62347898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259292602539062 × 2 - 1) × π
    0.481414794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51240918301277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62347898} λ = 1.62347898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51240918301277))-π/2
    2×atan(4.53764966474464)-π/2
    2×1.35388511384899-π/2
    2.70777022769797-1.57079632675     		φ = 1.13697390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62347898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.018494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13697390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.143806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99403 KachelY 33986 1.62347898 1.13697390 93.018494 65.143806
    Oben rechts KachelX + 1 99404 KachelY 33986 1.62352692 1.13697390 93.021240 65.143806
    Unten links KachelX 99403 KachelY + 1 33987 1.62347898 1.13695375 93.018494 65.142651
    Unten rechts KachelX + 1 99404 KachelY + 1 33987 1.62352692 1.13695375 93.021240 65.142651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13697390-1.13695375) × R
    2.01500000001076e-05 × 6371000     		dl = 128.375650000685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13697390-1.13695375) × R
    2.01500000001076e-05 × 6371000     		dr = 128.375650000685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62347898-1.62352692) × cos(1.13697390) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420342203570762 × 6371000     		do = 128.383328578746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62347898-1.62352692) × cos(1.13695375) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420360486903375 × 6371000     		du = 128.38891277914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13697390)-sin(1.13695375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420342203570762-0.420360486903375)×R²
    abs(1.62352692-1.62347898)×1.82833326131671e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82833326131671e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82833326131671e-05×40589641000000     		ar = 16481.6516938925m²