Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99400 / 33993
↖ ↑ ↗
← N 65.135723°
E 93.010254°		 ← 128.42 m → N 65.135723°
E 93.013001°		 →
↑
128.44 m
↓
↑
128.44 m
↓
N 65.134568°
E 93.010254°		 ← 128.43 m →
16 495 m²		 N 65.134568°
E 93.013001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758365631103516 y=0.259349822998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758365631103516 × 217)
    floor (0.758365631103516 × 131072)
    floor (99400.5)     		tx = 99400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259349822998047 × 217)
    floor (0.259349822998047 × 131072)
    floor (33993.5)     		ty = 33993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99400 / 33993 ti = "17/99400/33993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99400/33993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99400 ÷ 217
    99400 ÷ 131072     		x = 0.75836181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33993 ÷ 217
    33993 ÷ 131072     		y = 0.259346008300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75836181640625 × 2 - 1) × π
    0.5167236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62333517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259346008300781 × 2 - 1) × π
    0.481307983398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.51207362471543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62333517} λ = 1.62333517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51207362471543))-π/2
    2×atan(4.53612727418889)-π/2
    2×1.35381457845474-π/2
    2.70762915690947-1.57079632675     		φ = 1.13683283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62333517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.010254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13683283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.135723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99400 KachelY 33993 1.62333517 1.13683283 93.010254 65.135723
    Oben rechts KachelX + 1 99401 KachelY 33993 1.62338311 1.13683283 93.013001 65.135723
    Unten links KachelX 99400 KachelY + 1 33994 1.62333517 1.13681267 93.010254 65.134568
    Unten rechts KachelX + 1 99401 KachelY + 1 33994 1.62338311 1.13681267 93.013001 65.134568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13683283-1.13681267) × R
    2.01599999998248e-05 × 6371000     		dl = 128.439359998884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13683283-1.13681267) × R
    2.01599999998248e-05 × 6371000     		dr = 128.439359998884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62333517-1.62338311) × cos(1.13683283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420470201460729 × 6371000     		do = 128.422422429008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62333517-1.62338311) × cos(1.13681267) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420488492671265 × 6371000     		du = 128.428009035521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13683283)-sin(1.13681267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420470201460729-0.420488492671265)×R²
    abs(1.62338311-1.62333517)×1.82912105355926e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82912105355926e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82912105355926e-05×40589641000000     		ar = 16494.8525170798m²