Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99396 / 33996
↖ ↑ ↗
← N 65.132258°
E 92.999268°		 ← 128.44 m → N 65.132258°
E 93.002014°		 →
↑
128.44 m
↓
↑
128.44 m
↓
N 65.131103°
E 92.999268°		 ← 128.44 m →
16 497 m²		 N 65.131103°
E 93.002014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758335113525391 y=0.259372711181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758335113525391 × 217)
    floor (0.758335113525391 × 131072)
    floor (99396.5)     		tx = 99396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259372711181641 × 217)
    floor (0.259372711181641 × 131072)
    floor (33996.5)     		ty = 33996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99396 / 33996 ti = "17/99396/33996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99396/33996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99396 ÷ 217
    99396 ÷ 131072     		x = 0.758331298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33996 ÷ 217
    33996 ÷ 131072     		y = 0.259368896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.758331298828125 × 2 - 1) × π
    0.51666259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.62314342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259368896484375 × 2 - 1) × π
    0.48126220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51192981401657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62314342} λ = 1.62314342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51192981401657))-π/2
    2×atan(4.53547497746022)-π/2
    2×1.35378434242544-π/2
    2.70756868485088-1.57079632675     		φ = 1.13677236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62314342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.999268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13677236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.132258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99396 KachelY 33996 1.62314342 1.13677236 92.999268 65.132258
    Oben rechts KachelX + 1 99397 KachelY 33996 1.62319136 1.13677236 93.002014 65.132258
    Unten links KachelX 99396 KachelY + 1 33997 1.62314342 1.13675220 92.999268 65.131103
    Unten rechts KachelX + 1 99397 KachelY + 1 33997 1.62319136 1.13675220 93.002014 65.131103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13677236-1.13675220) × R
    2.01599999998248e-05 × 6371000     		dl = 128.439359998884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13677236-1.13675220) × R
    2.01599999998248e-05 × 6371000     		dr = 128.439359998884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62314342-1.62319136) × cos(1.13677236) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.420525065506828 × 6371000     		do = 128.439179321482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62314342-1.62319136) × cos(1.13675220) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.420543356204734 × 6371000     		du = 128.444765771425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13677236)-sin(1.13675220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420525065506828-0.420543356204734)×R²
    abs(1.62319136-1.62314342)×1.82906979062092e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.82906979062092e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.82906979062092e-05×40589641000000     		ar = 16497.0047514008m²