Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99392 / 33984
↖ ↑ ↗
← N 65.146115°
E 92.988281°		 ← 128.37 m → N 65.146115°
E 92.991028°		 →
↑
128.38 m
↓
↑
128.38 m
↓
N 65.144960°
E 92.988281°		 ← 128.38 m →
16 480 m²		 N 65.144960°
E 92.991028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758304595947266 y=0.259281158447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758304595947266 × 217)
    floor (0.758304595947266 × 131072)
    floor (99392.5)     		tx = 99392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259281158447266 × 217)
    floor (0.259281158447266 × 131072)
    floor (33984.5)     		ty = 33984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99392 / 33984 ti = "17/99392/33984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99392/33984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99392 ÷ 217
    99392 ÷ 131072     		x = 0.75830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33984 ÷ 217
    33984 ÷ 131072     		y = 0.25927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75830078125 × 2 - 1) × π
    0.5166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.62295167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25927734375 × 2 - 1) × π
    0.4814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51250505681201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62295167} λ = 1.62295167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51250505681201))-π/2
    2×atan(4.53808472731284)-π/2
    2×1.35390526287454-π/2
    2.70781052574908-1.57079632675     		φ = 1.13701420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62295167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13701420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.146115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99392 KachelY 33984 1.62295167 1.13701420 92.988281 65.146115
    Oben rechts KachelX + 1 99393 KachelY 33984 1.62299961 1.13701420 92.991028 65.146115
    Unten links KachelX 99392 KachelY + 1 33985 1.62295167 1.13699405 92.988281 65.144960
    Unten rechts KachelX + 1 99393 KachelY + 1 33985 1.62299961 1.13699405 92.991028 65.144960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13701420-1.13699405) × R
    2.01500000001076e-05 × 6371000     		dl = 128.375650000685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13701420-1.13699405) × R
    2.01500000001076e-05 × 6371000     		dr = 128.375650000685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62295167-1.62299961) × cos(1.13701420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420305636393538 × 6371000     		do = 128.372160021583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62295167-1.62299961) × cos(1.13699405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420323920067481 × 6371000     		du = 128.377744326227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13701420)-sin(1.13699405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420305636393538-0.420323920067481)×R²
    abs(1.62299961-1.62295167)×1.82836739425207e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82836739425207e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82836739425207e-05×40589641000000     		ar = 16480.2179298488m²