Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99391 / 33982
↖ ↑ ↗
← N 65.148423°
E 92.985535°		 ← 128.33 m → N 65.148423°
E 92.988281°		 →
↑
128.31 m
↓
↑
128.31 m
↓
N 65.147269°
E 92.985535°		 ← 128.34 m →
16 467 m²		 N 65.147269°
E 92.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758296966552734 y=0.259265899658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758296966552734 × 217)
    floor (0.758296966552734 × 131072)
    floor (99391.5)     		tx = 99391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259265899658203 × 217)
    floor (0.259265899658203 × 131072)
    floor (33982.5)     		ty = 33982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99391 / 33982 ti = "17/99391/33982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99391/33982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99391 ÷ 217
    99391 ÷ 131072     		x = 0.758293151855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33982 ÷ 217
    33982 ÷ 131072     		y = 0.259262084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.758293151855469 × 2 - 1) × π
    0.516586303710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.62290374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259262084960938 × 2 - 1) × π
    0.481475830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51260093061125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62290374} λ = 1.62290374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51260093061125))-π/2
    2×atan(4.53851983159414)-π/2
    2×1.35392541014732-π/2
    2.70785082029464-1.57079632675     		φ = 1.13705449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62290374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.985535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13705449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.148423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99391 KachelY 33982 1.62290374 1.13705449 92.985535 65.148423
    Oben rechts KachelX + 1 99392 KachelY 33982 1.62295167 1.13705449 92.988281 65.148423
    Unten links KachelX 99391 KachelY + 1 33983 1.62290374 1.13703435 92.985535 65.147269
    Unten rechts KachelX + 1 99392 KachelY + 1 33983 1.62295167 1.13703435 92.988281 65.147269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13705449-1.13703435) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dl = 128.311939999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13705449-1.13703435) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dr = 128.311939999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62290374-1.62295167) × cos(1.13705449) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420269077607696 × 6371000     		do = 128.334218684592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62290374-1.62295167) × cos(1.13703435) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420287352548942 × 6371000     		du = 128.339799157749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13705449)-sin(1.13703435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420269077607696-0.420287352548942)×R²
    abs(1.62295167-1.62290374)×1.8274941246732e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.8274941246732e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.8274941246732e-05×40589641000000     		ar = 16467.1705890482m²