Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9935 / 2419
↖ ↑ ↗
← N 77.527868°
E 38.298340°		 ← 527.65 m → N 77.527868°
E 38.320312°		 →
↑
527.77 m
↓
↑
527.77 m
↓
N 77.523122°
E 38.298340°		 ← 527.85 m →
278 531 m²		 N 77.523122°
E 38.320312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606414794921875 y=0.147674560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606414794921875 × 214)
    floor (0.606414794921875 × 16384)
    floor (9935.5)     		tx = 9935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147674560546875 × 214)
    floor (0.147674560546875 × 16384)
    floor (2419.5)     		ty = 2419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9935 / 2419 ti = "14/9935/2419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9935/2419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9935 ÷ 214
    9935 ÷ 16384     		x = 0.60638427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2419 ÷ 214
    2419 ÷ 16384     		y = 0.14764404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60638427734375 × 2 - 1) × π
    0.2127685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.66843213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14764404296875 × 2 - 1) × π
    0.7047119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21391777205267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66843213} λ = 0.66843213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21391777205267))-π/2
    2×atan(9.15149974169703)-π/2
    2×1.4619564426946-π/2
    2.9239128853892-1.57079632675     		φ = 1.35311656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66843213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.298340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35311656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.527868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9935 KachelY 2419 0.66843213 1.35311656 38.298340 77.527868
    Oben rechts KachelX + 1 9936 KachelY 2419 0.66881562 1.35311656 38.320312 77.527868
    Unten links KachelX 9935 KachelY + 1 2420 0.66843213 1.35303372 38.298340 77.523122
    Unten rechts KachelX + 1 9936 KachelY + 1 2420 0.66881562 1.35303372 38.320312 77.523122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35311656-1.35303372) × R
    8.28399999999174e-05 × 6371000     		dl = 527.773639999474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35311656-1.35303372) × R
    8.28399999999174e-05 × 6371000     		dr = 527.773639999474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66843213-0.66881562) × cos(1.35311656) × R
    0.000383490000000042 × 0.215964728028427 × 6371000     		do = 527.648217637439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66843213-0.66881562) × cos(1.35303372) × R
    0.000383490000000042 × 0.21604561235987 × 6371000     		du = 527.8458354323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35311656)-sin(1.35303372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215964728028427-0.21604561235987)×R²
    abs(0.66881562-0.66843213)×8.08843314430985e-05×R²
    0.000383490000000042×8.08843314430985e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.08843314430985e-05×40589641000000     		ar = 278530.96935224m²