Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99301 / 33953
↖ ↑ ↗
← N 65.181877°
E 92.738343°		 ← 128.17 m → N 65.181877°
E 92.741089°		 →
↑
128.18 m
↓
↑
128.18 m
↓
N 65.180724°
E 92.738343°		 ← 128.18 m →
16 430 m²		 N 65.180724°
E 92.741089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.757610321044922 y=0.259044647216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.757610321044922 × 217)
    floor (0.757610321044922 × 131072)
    floor (99301.5)     		tx = 99301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259044647216797 × 217)
    floor (0.259044647216797 × 131072)
    floor (33953.5)     		ty = 33953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99301 / 33953 ti = "17/99301/33953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99301/33953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99301 ÷ 217
    99301 ÷ 131072     		x = 0.757606506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33953 ÷ 217
    33953 ÷ 131072     		y = 0.259040832519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.757606506347656 × 2 - 1) × π
    0.515213012695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.61858942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259040832519531 × 2 - 1) × π
    0.481918334960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.51399110070023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61858942} λ = 1.61858942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51399110070023))-π/2
    2×atan(4.54483353365534)-π/2
    2×1.35421734870886-π/2
    2.70843469741772-1.57079632675     		φ = 1.13763837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61858942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.738343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13763837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.181877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99301 KachelY 33953 1.61858942 1.13763837 92.738343 65.181877
    Oben rechts KachelX + 1 99302 KachelY 33953 1.61863735 1.13763837 92.741089 65.181877
    Unten links KachelX 99301 KachelY + 1 33954 1.61858942 1.13761825 92.738343 65.180724
    Unten rechts KachelX + 1 99302 KachelY + 1 33954 1.61863735 1.13761825 92.741089 65.180724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13763837-1.13761825) × R
    2.01199999998458e-05 × 6371000     		dl = 128.184519999018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13763837-1.13761825) × R
    2.01199999998458e-05 × 6371000     		dr = 128.184519999018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61858942-1.61863735) × cos(1.13763837) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.419739193563521 × 6371000     		do = 128.172412217198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61858942-1.61863735) × cos(1.13761825) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.419757455291122 × 6371000     		du = 128.17798865541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13763837)-sin(1.13761825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419739193563521-0.419757455291122)×R²
    abs(1.61863735-1.61858942)×1.82617276008323e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82617276008323e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82617276008323e-05×40589641000000     		ar = 16430.0765441324m²