Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99300 / 33960
↖ ↑ ↗
← N 65.173806°
E 92.735596°		 ← 128.24 m → N 65.173806°
E 92.738343°		 →
↑
128.25 m
↓
↑
128.25 m
↓
N 65.172653°
E 92.735596°		 ← 128.24 m →
16 447 m²		 N 65.172653°
E 92.738343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.757602691650391 y=0.259098052978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.757602691650391 × 217)
    floor (0.757602691650391 × 131072)
    floor (99300.5)     		tx = 99300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259098052978516 × 217)
    floor (0.259098052978516 × 131072)
    floor (33960.5)     		ty = 33960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99300 / 33960 ti = "17/99300/33960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99300/33960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99300 ÷ 217
    99300 ÷ 131072     		x = 0.757598876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33960 ÷ 217
    33960 ÷ 131072     		y = 0.25909423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.757598876953125 × 2 - 1) × π
    0.51519775390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.61854148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25909423828125 × 2 - 1) × π
    0.4818115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51365554240289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61854148} λ = 1.61854148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51365554240289))-π/2
    2×atan(4.54330873289717)-π/2
    2×1.35414691449918-π/2
    2.70829382899836-1.57079632675     		φ = 1.13749750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61854148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.735596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13749750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.173806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99300 KachelY 33960 1.61854148 1.13749750 92.735596 65.173806
    Oben rechts KachelX + 1 99301 KachelY 33960 1.61858942 1.13749750 92.738343 65.173806
    Unten links KachelX 99300 KachelY + 1 33961 1.61854148 1.13747737 92.735596 65.172653
    Unten rechts KachelX + 1 99301 KachelY + 1 33961 1.61858942 1.13747737 92.738343 65.172653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13749750-1.13747737) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dl = 128.248230000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13749750-1.13747737) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dr = 128.248230000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61854148-1.61858942) × cos(1.13749750) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419867049315637 × 6371000     		do = 128.238204238761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61854148-1.61858942) × cos(1.13747737) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419885318929134 × 6371000     		du = 128.243784248983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13749750)-sin(1.13747737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419867049315637-0.419885318929134)×R²
    abs(1.61858942-1.61854148)×1.82696134969906e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82696134969906e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82696134969906e-05×40589641000000     		ar = 16446.6805258508m²